Órbitas periódicas en sistemas dinámicos y el método de análisis homotópico

En esta tesis, profundizamos en la exploración y análisis de soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales ordinarias y con retardo, aprovechando el potencial del Método de Análisis Homotópico (HAM). La relevancia de las órbitas periódicas en di- versos campos, desde la física hasta la biología, subraya su importancia para la com- prensión de los comportamientos a largo plazo de los sistemas. En el ámbito de las ecuaciones no lineales, donde a menudo las soluciones analíticas resultan esquivas, el HAM emerge como una herramienta potente, ofreciendo un enfoque semianalíti- co para obtener soluciones aproximadas mediante la homotopía, que es un concepto clave de la topología. Presentamos el HAM reformado, que es una adaptación original del HAM para la obtención de aproximaciones de soluciones periódicas. Una innovación importante de esta técnica radica en el rol que le asignamos al parámetro de frecuencia ω de la órbita, que al ser introducido en el operador no lineal, le otorga al HAM reformado una carac- terística espectral. Posteriormente determinamos esta frecuencia, junto con el clásico parámetro de convergencia h del HAM, mediante un enfoque heurístico. El método que proponemos demuestra su eficiencia al proporcionar aproximaciones analíticas precisas, eliminando la necesidad de expandir la frecuencia y amplitud de la órbita en serie respecto al parámetro de la homotopía. Este método es aplicable tanto a ecuacio- nes diferenciales ordinarias como con retardo. Nuestro trabajo también se aboca al estudio detallado de un modelo biológico de interés de 6 dimensiones que captura la dinámica de la infección por el virus linfotró- pico de células T de humanos tipo I (HTLV-I), la respuesta inmunitaria y el desarrollo de la leucemia de células T del adulto (ATL). Mostramos que el sistema refleja com- portamientos interesantes como bifurcaciones de Hopf y oscilaciones alrededor de un centro no lineal, a la vez que indagamos en las interpretaciones desde el punto de vista médico de los resultados hallados. Este modelo biológico también sirve como cam- po de prueba para el Método de Análisis Homotópico por múltiples etapas (MSHAM), confirmando su efectividad en sistemas que abarcan periodos temporales prolonga- dos. Finalmente, presentamos el concepto de isocronía respecto de un parámetro, que involucra familias de órbitas obtenidas variando un parámetro. Este concepto se apli- ca a ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, ordinarias y con retardo. Enunciamos los teoremas que permiten determinar bajo qué condiciones una familia de órbitas periódicas exhibe una frecuencia constante ante variaciones de un paráme- tro específico del sistema. Probamos la isocronía de la familia de ciclos analizando un sistema lineal auxiliar asociado al problema no lineal original, con una metodología esencialmente geométrica. Aplicamos el método a ODEs y discutimos la extensión de la técnica para ecuaciones con retardo.

Author dc:creator

• Cobiaga, Romina Pamela

Advisor dc:contributor.advisor

• Reartes, Walter Alberto

• Matemáticas

Statement dc:rights

• Reconocimiento-NoComercial 4.0 (CC BY-NC 4.0)

Licence dc:rights.uri

• http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/

Language dc:language.iso

spa

Dc Identifier Other

2024-1946

OAI identifier oai:identifier

oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/7049