Modelos de cuantización en variedades

El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente. Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada que contemple la dependencia con respecto a la curvatura espacial de la variedad, es decir el equivalente a una ecuación de Schrödinger para casos de curvatura distinta de cero, la cual en el límite reproduzca la cuántica usual. En esta tesis se estudian métodos de cuantización inspirados en las integrales de Feynman para espacios de configuración que generalizan el euclidiano. En el caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante, se construye un propagador infinitesimal por medio de la integración en el álgebra de Lie del grupo vía el mapa exponencial. Se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada que incluye un potencial correspondiente a la curvatura escalar de la variedad. También se estudian métodos de cuantización holomorfa como el desarrollado por B. C. Hall [57, 59, 61, 62], se los relaciona con la transformada de Segal-Bargmann y se los conecta con integrales de Feynman, lo cual nos permite obtener resultados originales. Se define un propagador infinitesimal que genera la evolución cuántica. La medida de integración usada surge de la solución fundamental de la ecuación del calor en la complexificación de la variedad. En el caso de variedades riemannianas conexas orientables de curvatura cero (euclidean space form) se muestra que existe un isomorfismo natural entre el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el espacio de configuración y el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable en el espacio fase. Los productos escalares son definidos con una medida dada por la solución fundamental de la ecuación del calor en cada espacio. Este espacio de funciones holomorfas en el espacio fase resulta ser un espacio de Hilbert con núcleo reproductor (reproducing kernel Hilbert space). Haciendo uso de la existencia de un núcleo reproductor se obtiene el isomorfismo mencionado y una integral de Feynman que coincide con las expresiones conocidas para el caso euclidiano, ver [27, 139]. En particular, las euclidean space forms de dimensión 3 orientables compactas presentan especial interés en cosmología, dado que permiten modelar la parte espacial de los llamados modelos de universo plano [34]. Ver el trabajo más reciente de J. Levin et al., en donde se busca desarrollar un modelo cosmológico plausible usando euclidean space forms orientables y compactas de dimensión 3 de acuerdo con los resutados de observaciones del fondo de radiación cósmico [98, 99, 100, 97].

Author dc:creator

• Capobianco, Guillermo

Advisor dc:contributor.advisor

• Reartes, Walter Alberto

• Matemáticas
• Geometría diferencial
• Cuantización
• Integrales de Feynman

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• Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 (CC BY-NC-ND 4.0)

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Language dc:language.iso

spa

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2016-1458

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