Resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales sobre álgebras de post k-cíclicas
En el trabajo An equivalence between Varieties of ciclic Post Algebras and Varietiesgenerated by a finite field [1] demostramos una equivalencia entre la variedad V(Lp;k) generada por el álgebra de Post k-cíclica simple de orden p, Lp;k y la variedad V(F(pk)) generada por el cuerpo con pk elementos [F(pk);+; .; F(p)]. La existencia de una interpretación entre ambas variedades nos ha permitido estudiar la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales sobre un álgebra Lp;k, utilizando técnicas usuales del Álgebra Conmutativa en un problema propio de la Lógica Algebraica. En Resolution of Algebraic Systems of Equations in the Variety of Cyclic Post Algebras [13] mostramos un camino para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas sobre una álgebra de Post cíclica de orden p, con p primo, utilizando la interpretación anterior, bases de Gröbner y algoritmos programados en Maple. En esta tesis describimos un método contructivo que permite obtener a partir de un cuerpo [F(pk);+; . ; F(p)], un álgebra de Post k--cíclica de orden p, con p primo positivo y k > 1. Las operaciones del álgebra de Post cíclica se expresan como términos en el lenguaje del cuerpo, y recíprocamente, las operaciones del cuerpo como términos en el lenguaje del álgebra de Post k-cíclica. Los algoritmos programados en Maple muestran cómo calcular estas operaciones de manera efectiva. De esto se deduce una interpretación 1 entre la variedad V(Lp;k) y la variedad V(F(pk)), y una interpretación 2 de V(F(pk)) en V(Lp;k) tal que 2 1 (B) = B para toda álgebra B 2 V(Lp;k) y 1 2(R) = R para todo R 2 V(F(pk)). Esta equivalencia permite analizar la existencia y búsqueda de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales en Lp;k[X1,...,Xn]. Mostramos en este trabajo dos caminos diferentes para la resolución de estos sistemas. El primer camino consiste en aplicar la interpretación 1 para obtener la expresión de una ecuación algebraica postiana en el lenguaje de F(pk)[X1,...,Xn] y así poder expresar todas las ecuaciones del sistema en F(pk)[X1,...,Xn]. De esta forma es posible buscar una base de Gröbner del ideal generado por los polinomios del sistema, analizar la existencia de soluciones y organizar su búsqueda. Aplicando luego la interpretación 2 obtenemos un sistema equivalente al original en el lenguaje postiano de Lp;k[X1,...,Xn]. Completamos esta idea presentando varios ejemplos que explican detalladamente el método propuesto junto con los algoritmos que muestran a un mismo polinomio en ambos anillos. El segundo camino consiste en definir el concepto de base de Gröbner de un ideal I en Lp;k[X1,...,Xn] utilizando nuevamente las interpretaciones 1 y 2. Explicamos este proceso en general y en el caso particular de p = 2 y k = 1, damos un algoritmo de división y un teorema para calcular el S-polinomio de dos polinomios en dos variables. Enunciamos las dificultades que se presentan al buscar directamente una base de Gröbner de un ideal I en Lp;k[X1,...,Xn] cuando p > 3, destacando que a pesar de las mismas, resulta interesante poder dividir en un anillo de polinomios sobre una estructura algebraica ordenada.
Cuerpos finitos, Variedades, Álgebras de post
Networked Digital Library of Theses and Dissertations