Universität Tübingen
Adiabatische Integratoren für hochoszillatorische Hamilton-Systeme
Abstract
Die Integration hochoszillatorischer Differentialgleichungen stellt seit langem eine numerische Herausforderung dar. In der vorliegenden Arbeit werden numerische Integratoren für hochoszillatorische Differentialgleichungen in der klassischen Mechanik entwickelt, die durch eine Hamiltonfunktion gegeben sind, in der ein beschränkendes Potential einige Bewegungsrichtungen beeinflusst. In Kapitel 1 bis 3 wird der Fall einer zeitabhängigen Hamiltonfunktion betrachtet und einige nützliche Transformationen präsentiert, durch die eine fast vollständige Trennung des Problems in langsame und schnelle Bewegungen erreicht wird. Nach einer weiteren Transformation des schnellen Subsystems in glattere, sogenannte adiabatische Variablen, werden numerische Integratoren entwickelt, die zweite Ordnung in den Positionen und einigen Impulsen erreichen. Weitere adiabatische Integratoren, die adiabatische Mittelpunktsregel und das adiabatische Magnusverfahren globaler zweiter Ordnung werden hergeleitet und analysiert. Detaillierte Fehlerbeweise zeigen die zweite Ordnung der Verfahren für signifikant größere Schrittweiten als die Periode der schnellsten Oszillationen. Dies wird an einem Fermi-Pasta-Ulam-Problem und einem Testproblem mit Fastkreuzung der Eigenfrequenzen illustriert. Eine symmetrische adaptive Schrittweitensteuerung wird präsentiert und erfolgreich auf den Fall vermiedener Kreuzungen und nichtadiabatischer Übergänge angewandt. Das gute Lange-Zeitschritt-Verhalten der adiabatischen Integratoren lässt sich auf den frequenzabhängigen Fall übertragen, indem das System zunächst erneut in adiabatische Variablen transformiert wird (Kapitel 4). Die Integratoren erreichen vergleichbare Genauigkeit, aber im Fall von Fastkreuzungen der Frequenzen zeigt das System hier ein chaotisches Verhalten (das sogenannte Takens-Chaos) und bringt neue Aspekte ins Spiel.
Author and committee
dc:creator, dc:contributor.*- Author
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- Lorenz, Katina
Identifiers
dc:identifier.*- Identifier
- hdl:10900/48944