Abstract
Im Rahmen einer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie entstehen viele stationäre (Quanten-)Markov-Prozesse durch Kopplung eines quantenmechanischen Systems an ein Wärmebad. Wir beschreiben dieses Bad durch ein verallgemeinertes weißes Rauschen, d.h., einer von Neumann Algebra mit einem treuen normalen Zustand, einer Zeitenwicklung und einer Filtrierung durch eine Familie von von Neumann Unteralgebren, indiziert durch Zeitintervalle. Das weiße Rauschen ist operatorwertig und setzt daher die Existenz einer bedingten Erwartung auf das quantenmechanische System voraus. Stochastische Unabhängigkeit wird dadurch beschrieben, daß die bedingte Erwartung des Produkts zweier Elemente aus von Neumann Unteralgebren zu disjunkten Zeitintervallen faktorisiert. Die Kopplung ist durch einen unitären Kozyklus bzgl. der Zeitentwicklung des weißen Rauschens gegeben. Sie soll als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen werden. Zu diesem Zweck betten wir das algebraische System auf kanonische Weise in ein Hilbertmodul ein. In diesem Raum lassen sich additive Kozyklen zum weißen Rauschen als Verallgemeinerung der klassischen Brownschen Bewegung definieren. Mit ihrer Hilfe entwickeln wir stochastische Integrale vom Ito Typ und eine Theorie stochastischer Differentialgleichungen. Als zentrales Ergebnis beweisen wir eine 1-1-Beziehung zwischen bestimmten additiven Kozyklen und unitalen Kozyklen, die die Anpassung des algebraischen Begriffs eines unitären Kozyklus an die Hilbertmodul-Situation darstellt: Ausgehend von einem unitalen Kozyklus liefert eine Standardkonstruktion einen additiven Kozyklus, während der unitale Kozyklus als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen wird. Für den Fall eines unitären Kozyklus erhalten wir einen stationären Markov-Prozeß als Dilatation einer Halbgruppe von Übergangsoperatoren. Ihren Lindblad-Generator können wir mit Hilfe der additiven Kozyklen identifizieren
Author and committee
dc:creator, dc:contributor.*- Author
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- Hellmich, Jürgen
Identifiers
dc:identifier.*- Identifier
- hdl:10900/48345