Mathematical Aspects of Hopfield Models

Diese Dissertation behandelt zwei Modelle aus der statistischen Mechanik ungeordneter Systeme. Beide sind Varianten des Hopfield-Modells und gehören zur Klasse der Molekularfeldmodelle. Im ersten Teil behandeln wir den Fall mit p-Spin-Wechselwirkungen (p größer als 4 und gerade) und superextensiv vielen Mustern (deren Anzahl M wie die p-te Potenz der Systemgröße N wächst), wobei wir zwei verschiedene Energiefunktionen betrachten. Wir beweisen die Existenz einer kritischen Temperatur, bei welcher der sogenannte Replikaüberlapp von Null auf einen strikt positiven Wert springt. Wir geben obere und untere Schranken für ihren Wert an und zeigen, daß für die eine Wahl der Hamiltonfunktion beide gegen die kritische Temperatur (bis auf einen konstanten Faktor) des Random Energy Model konvergieren, falls p gegen Unendlich strebt. Diese kritische Temperatur fällt mit der kleinsten Temperatur zusammen, für welche die ausgeglühte freie Energie und der Erwartungswert der abgeschreckten freien Energie identisch sind. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Resultaten wird durch eine partielle Integrationsformel geliefert, welche mit Hilfe einer Störungsentwicklung der Boltzmannfaktoren bewiesen wird. Außerdem berechnen wir die Fluktuationen der freien Energie und erhalten, daß sie von der Ordnung Quadratwurzel von N sind. Weiterhin beweisen wir die Existenz einer kritischen Proportionalitätskonstanten für die Anzahl Muster, oberhalb welcher das Minimum der Hamiltonfunktion mit großer Wahrscheinlichkeit nicht in der Nähe eines der Muster angenommen wird. Dies bedeutet, daß, obwohl das Gibbsmaß sich bei kleinen Temperaturen auf einer kleinen Teilmenge des Zustandsraumes konzentriert, dies nicht in der Nähe der Muster geschieht. In einem zweiten Teil beweisen wir obere Schranken für die Norm von gewissen zufälligen Matrizen mit abhängigen Einträgen. Diese Abschätzungen werden im ersten Teil zur Berechnung der Fluktuationen der freien Energie benutzt. Sie werden mit der Chebyshev-Markov-Ungleichung, angewandt auf die Spur von hohen Potenzen der Matrizen, bewiesen. Das zentrale Resultat dazu ist eine Darstellung der Spur von diesen hohen Potenzen als Wege auf gewissen bipartiten Graphen. Dies transformiert das Berechnen des Erwartungswertes der Spur auf das kombinatorische Problem, die maximale Anzahl kreisförmiger Teilgraphen eines gegebenen Eulergraphen zu bestimmen. Die Resultate zeigen, dass die Abhängigkeit zwischen den Einträgen eine wichtige Rolle spielt und nicht vernachlässigt werden kann. Im letzten Teil schließlich betrachten wir ein Hopfield-Modell mit zwei Gauß'schen Mustern. Wir zeigen, da$szlig; überabzählbar viele extremale Gibbszustände existieren, welche durch den Einheitskreis indiziert werden. Diese Symmetrie wird zufällig gebrochen im Sinne, daß der Metazustand von einem Kontinuum von Paaren von extremalen Gibbsmaßen getragen wird, welche durch eine globale Spinsymmetrie verknüpft sind. Wir beweisen diese Resultate mit Hilfe der zufälligen Ratenfunktion des induzierten Maßes auf den Überlapparametern. Insbesondere zeigen wir, daß die Symmetriebrechung durch die Fluktuationen der Ratenfunktion auf den (entarteten) Minima ihrer Erwartung erzwungen wird. Diese Fluktuationen werden durch einen zufälligen Prozeß auf dem Einheitskreis beschrieben, dessen globale Minima die Menge (schlussendlich ein Paar) der extremalen Zustände auswählen.

Author dc:creator

• Niederhauser, Beat

Advisor dc:contributor.advisor

• Bovier, Anton

Licence dc:rights.uri

• http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

Language dc:language.iso

en, English

Identifier URI

urn:nbn:de:kobv:83-opus-1230
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-221

OAI identifier oai:identifier

oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/518