Modeling and control of complex systems in a dioid framework
Viele Systeme in der Produktions- und Fertigungsindustrie können mit Hilfe von Synchronisationsgraphen, einer Klasse von Petri Netzen, modelliert werden. Vorteil solcher Synchronisationsgraphen ist die Möglichkeit, sie als lineares System in Dioidalgebren (auch idempotente Halbringe genannt) abzubilden. Für solche linearen Systeme in Dioidalgebren existiert wiederum eine etablierte Theorie zur Bestimmung von Steuerungen und Regelungen. Es ist allerdings nicht möglich Systeme mit einem verschachtelten Ablaufplan mit Hilfe von Synchronisationsgraphen zu modellieren. Ein verschachtelter Ablaufplan zeichnet sich dadurch aus, dass mehrere Teilprozesse eines Produkts ein und dieselbe Ressource belegen und diese Ressource in der Zwischenzeit Produktionsschritte anderer Teile durchführt. Desweiteren beziehen sich Zeitinformationen in Petri Netzen immer auf die minimale Zeiten, die Marken in einer Stelle bleiben müssen. Häufig werden in Produktionssystemen jedoch Zeitfenster angegeben, wo neben der minimalen Zeit auch eine maximale Zeit festgelegt wird, zu der der Produktionsschritt abgeschlossen sein muss. Solche Zeitfenster können nicht in (standard) Synchronisationsgraphen modelliert werden. Ähnlich verhält es sich mit Kapazitäten von Teilprozessen. Während maximale Kapazitäten relativ einfach durch Marken in Synchronisationsgraphen modelliert werden können, ist es nicht möglich eine Mindestanzahl von Marken in einer Stelle zu garantieren. Eine Erweiterung von Synchronisationsgraphen im Hinblick auf Zeitfenster ist bereits in mehreren Publikationen untersucht worden. Es gibt jedoch noch keine Studien darüber, wie man verschachtelte Ablaufpläne oder Mindestkapazitäten in Fertigungsanlagen bei der Modellierung berücksichtigen kann. In dieser Arbeit stellen wir einen Ansatz vor, mit dem man Prozesse mit verschachtelten Ablaufplänen durch eine Erweiterung von Synchronisationsgraphen modellieren kann. Das Modell eines solchen Prozesses resultiert jedoch in einer akausalen Systembeschreibung in Dioidalgebren. Da die modellierten Systeme jedoch kausal sind, wird der Kausalitätsbegriff näher untersucht und erweitert. Mit Hilfe der Regelungstheorie für lineare Systeme in Dioiden ist es dann möglich, geeignete Regler zu entwerfen. Im zweiten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Synchronisationsgraphen mit zusätzlichen Nebenbedingungen wie maximalen Bearbeitungszeiten und Mindestkapazitäten. Durch Nutzung der Residuentheorie ist es möglich, ein lineares Dioidsystem für Synchronisationsgraphen mit Nebenbedingungen zu bestimmen. Schließlich wird ein Algorithmus zum Entwerfen geeigneter Regler vorgestellt. Die Anwendbarkeit unserer Ergebnisse wird anhand realer Systeme aus dem Bereich des Hochdurchsatz-Screenings demonstriert.
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