Geometry, Kinematics, and Rigid Body Mechanics in Cayley-Klein Geometries
Die vorliegende Arbeit präsentiert eine moderne Formulierung der Mechanik starrer Körper in Räumen konstanter Krümmung. Die Arbeit besteht aus einem theoretischen und einem praktischen Teil. Zunächst werden theoretische Grundlagen aus projektiver Geometrie, äußerer Algebra und quadratischen Formen vorgestellt, um darauf aufbauend eine Klasse von Cayley-Klein Räumen zu beschreiben. Diese Klasse enthält die drei klassischen Räume konstanter Krümmung (euklidisch, elliptisch und hyperbolisch). Die entsprechenden n-dimensionalen Cayley-Klein Geometrien werden dann als reelle Clifford-Algebren realisiert. Diese Algebren werden aus dem Dual der projektivierten Grassmann Algebra konstruiert, wobei der ausgeartete euklidische Fall eine besondere Stellung einnimmt. Als nächstes, wird gezeigt, dass die Isometriegruppen dieser Räume konstanter Krümmung durch eigentliche Spiegelungen erzeugt sind. Diese Spiegelungen werden als Konjugationsoperatoren der Form in der Algebra, realisiert, was zur Definition von Pin (Spin) Gruppen als endliche überlagerungen der indirekten (direkten) Isometriegruppen führt. Für n = 3 wird die Sub-Algebra der Skalare und Pseudoskalare untersucht und die Definition der Achse eines Bivectors gegeben. Als Ergebnis erhält man einen Algorithmus zur Berechnung des Logarithmus eines Rotors (Element der Spin-Gruppe). Zusammenhänge zu bekannten Ergebnissen über Lie-Gruppen und Lie-Algebren werden erläutert. Ausgestattet mit diesen algebraischen Werkzeugen, werden anschließend Kinematik und Dynamik in diesen Räumen erforscht. Die zugehörige Lie-Klammer wird, wie üblich, als Kommutator (der Bivektoren) beschreiben. Das von einem Bivektor induzierte Vektorfeld wird eindeutig in eine null Polarität und die dem betrachteten Raum zugrundeliegende metrische Polarität zerlegt. Newtonsche Partikel werden auf eine metrisch-neutrale Art und Weise definiert und starre Körper werden als aus solchen Partikeln aufgebaut verstanden. Es wird gezeigtl, wie der Trägheitstensor eines starren Körpers eine separate Clifford Algebra induziert, deren 1-Vektoren Elemente von sind. Energie- und Impulserhaltung eines solchen Körpers unter Abwesenheit externer Kräfte führt zu den Euler-Gleichungen der Bewegung. Der Einfluss externer Kräfte und die entsprechend verrichtete Arbeit werden ebenfalls betrachtet. Der praktische Teil der Arbeit behandelt im Wesentlichen die Visualisierung der Ergebnisse. Es werden Simulationen in elliptischer und hyperbolischer Geometrie vorgestellt, zunächst in der Ebene und anschließend im 3-dimensionale Raum. Es werden Beispiele für eine Vielzahl von Randbedingungen (Körper-Symmetrie bzw. Impuls-Typ) präsentiert. In Ermangelung einer Poinsot Theorie der zu beschreibenden Bewegung wird ein phänomenologischer Ansatz verwendet, um einige qualitative Beobachtungen mit heuristischen Argumentationen zu begründen. Innovative Visualisierungen der Polhodie (der Achsen der instantanen Geschwindigkeiten) bilden den Schluss des praktischen Teils. Während die Arbeit in erster Linie der Ausarbeitung der kinematischen und dynamischen Ergebnisse gewidmet ist, stellt die Entwicklung des metrik-neutralen Clifford-Algebra-Toolkits für das Rechnen in Cayley-Klein-Geometrien eine eigene innovative Leistung der Dissertation dar.
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