Bilinear Discretization of Integrable Quadratic Vector Fields: Algebraic Structure and Algebro-Geometric Solutions

In der Arbeit werden die Integrabilitätseigenschaften der Hirota- Kimura Diskretisierungen (HK-Diskretisierungen) von algebraisch integrablen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben. Dieser Diskretisierungs-ansatz, der zuerst von Kahan beschrieben wurde und später von Hirota und Kimura auf den Eulerschen und Lagrangeschen Kreisel angewendet wurde, tendiert dazu integrable Abbildungen zu produzieren. Diese Abbildungen werden systematisch untersucht und - wenn möglich - mit Hilfe elliptischer (bzw. Abelscher) Funktionen gelöst werden. Die Arbeit setzt dabei einen Schwerpunkt auf die rechnergestützten Methoden zum Erkennen und Beweisen der Integrabilität birationaler Abbildungen. Nach einer kurzen Einleitung werden zuerst die verschiedenen Integrabili-tätsbegriffe für kontinuierliche und diskrete dynamische Systeme erläutert. Darauf aufbauend wird ein der Arbeit zugrundeliegender Integrabilitätsbegriff entwickelt. Hier wird insbesondere auf sogenannte Hirota-Kimura Basen eingegangen. In diesem Umfeld werden weiterhin mehrere Methoden zur Entdeckung integrabler birationaler Abbildungen beschrieben. Es wird besonderes Augenmerk auf zwei algorithmische Methoden basierend auf sogenannten HK Basen gelegt. Schließlich wird auf verschiedene Aspekte eingegangen, die beim Beweis der Integrabilität birationaler Abbildungen mit Hilfe von Computer Algebra Systemen eine Rolle spielen. Danach werden die wesentlichen Eigenschaften von ellip-tischen Funktionen und deren Anwendung auf die Parametrisierung spezieller Invarianzrelationen aus der Theorie diskreter integrabler Systeme eingegangen. Weiterhin wird eine experimentelle Methodik vorgestellt, die es erlaubt Lösungen für integrable birationale Abbildungen zu finden, vorrausgesetzt, dass diese lösbar in elliptischen Funktionen sind. Nach der Vorstellung der HK-Diskretisierungen und deren allgemeinen Eigenschaften, beschäftigt sich der Rest der Arbeit mit konkreten Beispielen. Es werden insbesondere die HK-Diskretisierungen der folgenden Systeme vorgestellt und deren Integrabilität bewiesen: Weierstraß-System, Euler Kreisel, Zhukovsky Volterra System, drei- und vierdimensionales periodisches Volterra Gitter, Clebsch System, Kirchhoff System, Lagrange Kreisel. Alle Systeme werden mit Hilfe der Methoden aus dem ersten Teil der Arbeit untersucht. Dabei werden in allen Fällen deren HK Basen, Erhaltungs-größen und invariante Volumenformen beschrieben. Weiterhin werden für die Volterra Systeme und das KirchhoffSystem Lösungen in Form elliptischer Funktionen bestimmt. Nach einer Zusammenfassung der Ergebnisse schließt die Arbeit im Appendix mit einigen Hinweisen bezüglich der verschiedenen rechnergestützten Experimente und Beweise.

Author dc:creator

• Pfadler, Andreas

Advisor dc:contributor.advisor

• Suris, Yuri B.

Licence dc:rights.uri

• http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

Language dc:language.iso

en, English

Identifier URI

urn:nbn:de:kobv:83-opus-33112
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3027

OAI identifier oai:identifier

oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/3324