{"id":{"repo_id":"tu-berlin","oai_identifier":"oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/26275"},"canonical_url":"https://search.dev.ndltd.org/etd/tu-berlin/oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/26275","repository":{"repo_id":"tu-berlin","name":"Technische Universität Berlin","base_url":"https://api-depositonce.tu-berlin.de/server/oai/request"},"display":{"title":"Asymptotics and numerics in rough and local stochastic volatility models","abstract":"In this dissertation, we investigate various questions arising from the modelling of asset prices. All these models have in common, that they permit the use of rough volatility processes, meaning that the fluctuations of stock prices are modelled via a very irregular process. Besides this underlying structure, statements about asymptotic behaviour play a major role, both in the description of price developments over short time intervals and in the analysis of numerical schemes, that approximate the solutions of the theoretical models. Part I already addresses this issue. Here, we study a certain class of financial models, that can loosely be described as rough Bergomi models. More precisely, we study the behaviour of the weak error between the theoretical model and the actual numerical implementation. It turns out, that this error, up to a certain degree, does not depend on the (ir)regularity of the underlying volatility process. Remarkably, also the correlation between the volatility and the asset has a significant influence on the convergence speed. We finish the discussion with an example, that provides a lower bound for the convergence speed, implying that our result is optimal in a certain sense. In the second part, we are concerned with baskets, financial products composed of several different assets. More precisely, we study these objects in a small noise regime. This regime can, via scaling arguments, also be interpreted in such a way, that the baskets are only observed over a short time period. An important theoretical framework for this is the theory of large deviations, which helps making statements about the asymptotic behaviour of probabilities of rare events. As we work in the context of rough volatility, this gives rise to a non-trivial rate function. Part III thematically returns to the field of numerics. Here we study so-called local stochastic volatility models, which are especially popular among practitioners. Despite their popularity, one quickly encounters difficulties in the theoretical investigation of these models: the occurrence of certain conditional expectations complicates general statements about existence of solutions. Even all one-dimensional marginals of this process would be known. The main idea of our work is a relatively simple observation: when applying the Euler-scheme, a standard method for implementing (stochastic) differential equations, all expressions are well-defined. Thus we studied the weak error of this scheme, compared to the original model. During this analysis, we introduce a novel half-step scheme, which has many practical properties in dealing with conditional expectations. Finally, we use this method to introduce an interacting particle system. The main result then quantifies the error rate, depending on all parameters used. Additionally we provide numerical simulations supporting our theoretical findings.","abstract_html":"In this dissertation, we investigate various questions arising from the modelling of asset prices. All these models have in common, that they permit the use of rough volatility processes, meaning that the fluctuations of stock prices are modelled via a very irregular process. Besides this underlying structure, statements about asymptotic behaviour play a major role, both in the description of price developments over short time intervals and in the analysis of numerical schemes, that approximate the solutions of the theoretical models. Part I already addresses this issue. Here, we study a certain class of financial models, that can loosely be described as rough Bergomi models. More precisely, we study the behaviour of the weak error between the theoretical model and the actual numerical implementation. It turns out, that this error, up to a certain degree, does not depend on the (ir)regularity of the underlying volatility process. Remarkably, also the correlation between the volatility and the asset has a significant influence on the convergence speed. We finish the discussion with an example, that provides a lower bound for the convergence speed, implying that our result is optimal in a certain sense. In the second part, we are concerned with baskets, financial products composed of several different assets. More precisely, we study these objects in a small noise regime. This regime can, via scaling arguments, also be interpreted in such a way, that the baskets are only observed over a short time period. An important theoretical framework for this is the theory of large deviations, which helps making statements about the asymptotic behaviour of probabilities of rare events. As we work in the context of rough volatility, this gives rise to a non-trivial rate function. Part III thematically returns to the field of numerics. Here we study so-called local stochastic volatility models, which are especially popular among practitioners. Despite their popularity, one quickly encounters difficulties in the theoretical investigation of these models: the occurrence of certain conditional expectations complicates general statements about existence of solutions. Even all one-dimensional marginals of this process would be known. The main idea of our work is a relatively simple observation: when applying the Euler-scheme, a standard method for implementing (stochastic) differential equations, all expressions are well-defined. Thus we studied the weak error of this scheme, compared to the original model. During this analysis, we introduce a novel half-step scheme, which has many practical properties in dealing with conditional expectations. Finally, we use this method to introduce an interacting particle system. The main result then quantifies the error rate, depending on all parameters used. 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Despite their popularity, one quickly encounters difficulties in the theoretical investigation of these models: the occurrence of certain conditional expectations complicates general statements about existence of solutions. Even all one-dimensional marginals of this process would be known. The main idea of our work is a relatively simple observation: when applying the Euler-scheme, a standard method for implementing (stochastic) differential equations, all expressions are well-defined. Thus we studied the weak error of this scheme, compared to the original model. During this analysis, we introduce a novel half-step scheme, which has many practical properties in dealing with conditional expectations. Finally, we use this method to introduce an interacting particle system. The main result then quantifies the error rate, depending on all parameters used. Additionally we provide numerical simulations supporting our theoretical findings.","In dieser Dissertation untersuchen wir verschiedene Fragestellungen, die sich aus der Modellierung von (Börsen-)Kursen ergeben. Die Gemeinsamkeit all dieser Modelle besteht darin, dass sie raue Volatilitätsprozesse zulassen, das heißt die Schwankungen der Aktienpreise werden durch einen sehr irregulären Prozess beschrieben. Neben dieser Grundstruktur spielen auch asymptotische Aussagen eine große Rolle, sowohl in Bezug auf Preisentwicklungen für sehr kurze Zeitintervalle als auch hinsichtlich numerischer Verfahren, die die Lösungen der theoretischen Finanzmarktmodelle approximieren. Teil I greift dieses Thema bereits auf. Hier untersuchen wir eine bestimmte Klasse von Finanzmarktmodellen, die salopp gesagt als raue Bergomi-Modelle bezeichnet werden können. Genauer gesagt untersuchen wir, wie groß der sogenannte schwache Fehler zwischen dem theoretischen Modell und der tatsächlichen numerischen Implementierung ist. Es stellt sich heraus, dass der Fehler bis zu einem gewissen Grad unabhängig von der Irregularität des zugrundeliegenden Volatilitätsprozesses ist. Bemerkenswerterweise hat auch die Korrelation zwischen der Volatilität und der Aktie einen großen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit. Die Diskussion wird außerdem von einem Beispiel abgerundet, das eine untere Schranke für die Konvergenzgeschwindigkeit darstellt und damit zeigt, dass unser Resultat in einer gewissen Weise optimal ist. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit Baskets, also Finanzprodukten die aus mehreren verschiedenen Anlagen zusammengesetzt sind. Genauer gesagt untersuchen wir diese Objekte in einem Regime des kleinen Rauschens. Dieses Regime kann mit Hilfe von Skalierungsargumenten auch so interpretiert werden, dass die Baskets nur über einen kurzen Zeitraum analysiert werden. Als wichtiges theoretisches Grundgerüst dient hierzu die Theorie der großen Abweichungen, mit Hilfe derer Aussagen über das asymptotische Verhalten von Wahrscheinlichkeiten von seltenen Ereignissen getroffen werden. Da wir im Kontext von rauer Volatilität arbeiten, tritt hierbei eine nicht-triviale Ratenfunktion auf. Teil III passt thematisch wieder ins Gebiet der Numerik. Hier untersuchen wir sogenannte lokale stochastische Volatilitätsmodelle, welche sich insbesondere bei Anwender:innen enormer Beliebtheit erfreuen. Trotz dieser großen Beliebtheit stößt man bei der theoretischen Untersuchung dieser Modelle schnell auf Schwierigkeiten: Das Auftreten bestimmter bedingter Erwartungswerte erschwert allgemeine Aussagen über die Existenz von Lösungen der zugrundeliegenden Gleichungen. Dabei wären sogar alle eindimensionalen Verteilungen dieses Prozesses bekannt. Die Grundidee dieser Arbeit ist eine vergleichsweise einfache Beobachtung: Wendet man das sogenannte Euler-Schema, eine Standardmethode zur Implementierung von (stochastischen) Differentialgleichungen, auf diese Gleichung an, so sind alle Ausdrücke wohldefiniert. Daher haben wir den schwachen Fehler dieses Schemas, im Vergleich zu den bekannten Randverteilungen des ursprünglichen Modells analysiert. Im Zuge dieser Analyse wurde ein von uns entworfenes Halb-Schritt-Verfahren eingeführt, was viele praktische Eigenschaften im Umgang mit bedingten Erwartungswerten hat. Schlussendlich wird dieses Verfahren verwendet, um ein System aus interagierenden Partikeln aufzustellen. Das Hauptresultat quantifiziert dann die Fehlerrate in Abhängigkeit aller verwendeten Parameter. 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An important theoretical framework for this is the theory of large deviations, which helps making statements about the asymptotic behaviour of probabilities of rare events. As we work in the context of rough volatility, this gives rise to a non-trivial rate function. Part III thematically returns to the field of numerics. Here we study so-called local stochastic volatility models, which are especially popular among practitioners. Despite their popularity, one quickly encounters difficulties in the theoretical investigation of these models: the occurrence of certain conditional expectations complicates general statements about existence of solutions. Even all one-dimensional marginals of this process would be known. The main idea of our work is a relatively simple observation: when applying the Euler-scheme, a standard method for implementing (stochastic) differential equations, all expressions are well-defined. Thus we studied the weak error of this scheme, compared to the original model. During this analysis, we introduce a novel half-step scheme, which has many practical properties in dealing with conditional expectations. Finally, we use this method to introduce an interacting particle system. The main result then quantifies the error rate, depending on all parameters used. Additionally we provide numerical simulations supporting our theoretical findings.","In dieser Dissertation untersuchen wir verschiedene Fragestellungen, die sich aus der Modellierung von (Börsen-)Kursen ergeben. Die Gemeinsamkeit all dieser Modelle besteht darin, dass sie raue Volatilitätsprozesse zulassen, das heißt die Schwankungen der Aktienpreise werden durch einen sehr irregulären Prozess beschrieben. Neben dieser Grundstruktur spielen auch asymptotische Aussagen eine große Rolle, sowohl in Bezug auf Preisentwicklungen für sehr kurze Zeitintervalle als auch hinsichtlich numerischer Verfahren, die die Lösungen der theoretischen Finanzmarktmodelle approximieren. Teil I greift dieses Thema bereits auf. Hier untersuchen wir eine bestimmte Klasse von Finanzmarktmodellen, die salopp gesagt als raue Bergomi-Modelle bezeichnet werden können. Genauer gesagt untersuchen wir, wie groß der sogenannte schwache Fehler zwischen dem theoretischen Modell und der tatsächlichen numerischen Implementierung ist. Es stellt sich heraus, dass der Fehler bis zu einem gewissen Grad unabhängig von der Irregularität des zugrundeliegenden Volatilitätsprozesses ist. Bemerkenswerterweise hat auch die Korrelation zwischen der Volatilität und der Aktie einen großen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit. Die Diskussion wird außerdem von einem Beispiel abgerundet, das eine untere Schranke für die Konvergenzgeschwindigkeit darstellt und damit zeigt, dass unser Resultat in einer gewissen Weise optimal ist. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit Baskets, also Finanzprodukten die aus mehreren verschiedenen Anlagen zusammengesetzt sind. Genauer gesagt untersuchen wir diese Objekte in einem Regime des kleinen Rauschens. Dieses Regime kann mit Hilfe von Skalierungsargumenten auch so interpretiert werden, dass die Baskets nur über einen kurzen Zeitraum analysiert werden. Als wichtiges theoretisches Grundgerüst dient hierzu die Theorie der großen Abweichungen, mit Hilfe derer Aussagen über das asymptotische Verhalten von Wahrscheinlichkeiten von seltenen Ereignissen getroffen werden. Da wir im Kontext von rauer Volatilität arbeiten, tritt hierbei eine nicht-triviale Ratenfunktion auf. Teil III passt thematisch wieder ins Gebiet der Numerik. Hier untersuchen wir sogenannte lokale stochastische Volatilitätsmodelle, welche sich insbesondere bei Anwender:innen enormer Beliebtheit erfreuen. Trotz dieser großen Beliebtheit stößt man bei der theoretischen Untersuchung dieser Modelle schnell auf Schwierigkeiten: Das Auftreten bestimmter bedingter Erwartungswerte erschwert allgemeine Aussagen über die Existenz von Lösungen der zugrundeliegenden Gleichungen. Dabei wären sogar alle eindimensionalen Verteilungen dieses Prozesses bekannt. Die Grundidee dieser Arbeit ist eine vergleichsweise einfache Beobachtung: Wendet man das sogenannte Euler-Schema, eine Standardmethode zur Implementierung von (stochastischen) Differentialgleichungen, auf diese Gleichung an, so sind alle Ausdrücke wohldefiniert. Daher haben wir den schwachen Fehler dieses Schemas, im Vergleich zu den bekannten Randverteilungen des ursprünglichen Modells analysiert. 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