Diffusion Processes with Reflection

Im ersten Teil der vorliegenden Dissertation werden Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen mit Reflektion auf pfadweise Differenzierbarkeit nach dem deterministischen Anfangswert untersucht. In Kapitel 1 werden Gleichungen auf konvexen Polyedern betrachtet, wobei die Reflektionsrichtungen entlang der Randflächen zwar konstant sind, aber durchaus schief sein dürfen. Kapitel 2 behandelt dann den Fall, wo das Gebiet glatt berandet ist mit Reflektion am Rand in Normalenrichtung. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine Partikelapproximation für die Wasserstein Diffusion bewiesen. Bei der Wasserstein Diffusion handelt es sich um einen reversiblen Markov Prozess mit Werten in der Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem Einheitsintervall. Das Ziel ist es, ein Partikelsystem zu definieren, so dass der zugehörige Prozess von empirischen Maßen schwach gegen die Wasserstein Diffusion konvergiert. Das approximierende Partikelsystem kann interpretiert werden als ein System von interagierenden Bessel-Prozessen mit kleiner Bessel-Dimension. Insbesondere hat der Driftterm den Effekt, dass die Partikel sich gegenseitig anziehen. Eine Konsequenz hiervon ist, dass analog zu Bessel Prozessen mit Dimension kleiner als eins das System kein Semimartingal ist. Eine detaillierte Untersuchung des Partikelsystems, insbesondere Feller Eigenschaften, ist in Kapitel 3 enthalten. Die schwache Konvergenz des Partikelsystems gegen die Wasserstein Diffusion wird in Kapitel 4 bewiesen. Dabei wird zunächst Straffheit gezeigt und in einem zweiten Schritt der Limes identifiziert. Während Straffheit leicht aus etablierten Kriterien folgt, ist die Identifikation des Limes schwieriger. Hier besteht der wesentliche Beweisschritt darin, Mosco-Konvergenz der zugehörigen Dirichlet Formen nachzuweisen.

Author dc:creator

• Andres, Sebastian

Advisor dc:contributor.advisor

• Deuschel, Jean-Dominique

Licence dc:rights.uri

• http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

Language dc:language.iso

en, English

Identifier URI

urn:nbn:de:kobv:83-opus-22332
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2155

OAI identifier oai:identifier

oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/2452