Control-Oriented Model Reduction for Parabolic Systems

In der vorliegenden Arbeit werden effiziente Implementierungen von Modellreduktionsverfahren für lineare, zeitinvariante Kontrollsysteme entwickelt. Modellreduktion spielt eine wichtige Rolle in der Simulation, Kontrolle und Optimierung von komplexen, dynamischen Systemen, wie sie bei der Modellierung vieler physikalischer Prozesse und bei der Ortsdiskretisierung parabolischer Differentialgleichungen auftreten. Wird die Finite-Elemente-Methode (FEM) zur Ortsdiskretisierung einer partiellen Differentialgleichung benutzt, besteht das resultierende System gewöhnlicher Differentialgleichungen typischerweise aus vielen Gleichungen, die dazugehörigen Matrizen sind schwachbesetzt. Wird allerdings die Randelementmethode (BEM) angewendet, sind die entstehenden Systeme groß und vollbesetzt. Diese Problemklasse kann in einem sogenannten "quasi-dünnbesetzten“ Matrixformat, den hierarchischen (H) Matrizen, approximiert werden. Um die Problemgröße von linearen, zeitinvarianten Systemen zu reduzieren, wird sehr häufig das Verfahren des balancierten Abschneidens eingesetzt. Bei dieser Methode führt ein systemtheoretischer Hintergrund zu günstigen Eigenschaften im reduzierten System, so bleibt die Stabilität des Systems erhalten, und es existiert eine globale, berechenbare Fehlerschranke. Ein wesentlicher Nachteil der Methode ist der große Rechenaufwand, verursacht durch das Lösen zweier Lyapunovgleichungen bei kontinuierlichen Systemen und zweier Steingleichungen bei diskreten Systemen. In den letzten Jahren wurden viele effiziente Verfahren zur Lösung dieser Matrixgleichungen entwickelt. Die meisten sind besonders für schwachbesetzte Matrizen geeignet und berechnen Niedrigrangfaktoren der Lösungen. Allerdings ist der Rechenaufwand der Methoden kubisch, wenn sie auf große, vollbesetzte Systeme angewandt werden, und der Speicherbedarf wächst quadratisch. In dieser Arbeit wird der Rechenaufwand und der Speicherbedarf der Algorithmen zur Lösung von Matrixgleichungen für große, quasi-dünnbesetzte Systeme reduziert. Für diese, in vielen Anwendungen auftretende Problemklasse, werden effiziente Algorithmen zur Lösung von Sylvester-, Lyapunov- und algebraischen Bernoulligleichungen auf Basis der Matrix-Signumfunktionsmethode, zur Lösung von Steingleichungen mit der quadrierten Smith-Iteration, entwickelt. Durch das Ersetzen der Matrixinversion, der Addition und der Multiplikation durch approximative Arithmetik für hierarchische Matrizen erhalten wir Algorithmen mit linear-polylogarithmischer Komplexität. Die Verfahren sind somit auf Systeme großer Ordnung anwendbar, in denen die Koeffizientenmatrix vollbesetzt sein darf, solange sie als H-Matrix approximiert werden kann. Alle Methoden berechnen approximative Niedrigrangfaktoren der Lösungen der Matrixgleichungen. Aufbauend auf den entwickelten Methoden zur Lösung großer Matrixgleichungen werden effiziente Implementierungen verschiedener Modellreduktionsverfahren vorgeschlagen. Neben dem approximativen balancierten Abschneiden, welches gute Approximationseigenschaften für große Frequenzen besitzt, wird die singuläre Störungsapproximationsmethode (SPA) modifiziert, die den stationären Zustand des Systems gut approximiert. Ein modifizierter Cross-Gramian Ansatz berechnet auf Basis der Lösung einer Sylvestergleichung reduzierte Systeme für symmetrische Systeme und für Systeme mit skalarem Ein- und Ausgang. Der Fehler ist vergleichbar klein zum approximativen balancierten Abschneiden. Weiterhin wird ein Ansatz zur Modellreduktion von instabilen Systemen behandelt, der auf einem Löser für algebraische Bernoulligleichungen und dem Löser für Lyapunovgleichungen basiert. Die Methoden werden erfolgreich auf Systeme resultierend aus FEM- und BEM-Diskretisierungen von zwei- und dreidimensionalen partiellen Differentialgleichungen der Größenordnung O(10^5) angewendet. Beachtenswert hierbei ist, dass die Anwendung des balancierten Abschneidens auf vollbesetzte Systeme dieser Größenordnung nur durch den Gebrauch des speziellen quasi-dünnbesetzten Matrixformates und der dazugehörigen approximativen Arithmetik möglich wird. Theoretisch und anhand der numerischen Beispiele wird die Beschränktheit des durch die H-Matrix Approximation eingeführten Fehlers zwischen Originalsystem und dem System reduzierter Ordnung gezeigt. Alle Methoden reduzieren die Dimension des Systems beträchtlich und halten dabei eine kleine Fehlertoleranz ein. Eine stark reduzierte Problemgröße kann vorteilhaft in linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblemen mit Ungleichheitsnebenbedingungen an die Steuerung ausgenutzt werden. Die üblicherweise sehr große Dimension des analogen diskreten quadratischen Problems wird durch Reduktion der Dimension der zu Grunde liegenden PDE signifikant reduziert. Dadurch kann Standardsoftware zur Lösung des Optimalsteuerungsproblems eingesetzt werden. Gedruckte Version im Verlag erschienen: ISBN 978-3639074178 im Vdm Verlag Dr. Müller

Author dc:creator

• Baur, Ulrike

Advisor dc:contributor.advisor

• Benner, Peter

Licence dc:rights.uri

• http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/

Language dc:language.iso

en, English

Identifier URI

urn:nbn:de:kobv:83-opus-17608
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1775

OAI identifier oai:identifier

oai:depositonce.tu-berlin.de:11303/2072