Patterns of synchrony in complex networks of adaptively coupled oscillators
Kollektive Phänomene in Systemen von miteinander verbundenen dynamischen Einheiten sind allgegenwärtig in der Natur. Das Schwarmverhalten in Gruppen von Vögeln oder Fischen, das synchrone Blinken von Glühwürmchen oder auch das kohärente "Feuern" von Neuronen im menschlichen Gehirn sind nur einige Beispiele für kollektives Verhalten. Die Erforschung der Mechanismen, die zur Synchronisation führen, ist entscheidend für das Verständnis von biologischer Selbstorganisation. Zu diesem Zweck wurde in den letzten Jahrzehnten die Theorie der dynamischen Netzwerke erfolgreich angewandt, um die komplexen Bewegungen natürlicher Systeme auf das Wesentliche zu reduzieren. Darüber hinaus kommen dynamische Netzwerke mit adaptiven Kopplungen und damit nicht konstanter Netzwerkstruktur in realen Systemen wie Stromnetzwerken, sozialen Netzwerken sowie neuronalen Netzwerken ganz natürlich vor. In dieser Arbeit untersuchen wir adaptive Netzwerke und deren Eigenschaften, welche zur Entstehung einer Vielzahl von Synchronisierungsmustern, darunter vollständige und Cluster-Synchronisierung sowie solitäre und chimärenartige Zustände, beitragen. Eines der Hauptanwendungsgebiete, das in dieser Arbeit untersucht wird, sind die Neurowissenschaften. Die in dieser Arbeit entwickelten Methoden und Ansätze sind jedoch nicht auf ein bestimmtes Anwendungsgebiet beschränkt. Im ersten Teil dieser Arbeit berichten wir über das Phänomen der Frequenz-Clusterung in global gekoppelten Oszillator-Netzwerken mit langsamer Adaptivität. Als motivierendes Beispiel untersuchen wir ein Netzwerk von Hodgkin-Huxley-Neuronen mit "spike timing-dependent" Plastizität. Hier führt die Clusterung zur Aufspaltung einer neuronalen Population in einige wenige Gruppen, die mit unterschiedlichen Frequenzen synchronisiert sind. Wir führen ein phänomenologisches Modell ein, das die Dynamik von zwei Clustern unter Berücksichtigung der adaptiven Kopplungsgewichte beschreibt. Nach der erfolgreichen Anwendung des phänomenologischen Modells untersuchen wir ein paradigmatisches System von adaptiv und global gekoppelten Phasenoszillatoren, das von neuronalen Netzwerken mit synaptischer Plastizität inspiriert ist. Unsere numerische sowie analytische Analyse des Phasenoszillatormodells ermöglicht eine vollständige Beschreibung des Mechanismus hinter der Entstehung von Frequenz-Clustern. Darüber hinaus stellen wir die tragende Rolle einzelner Cluster für die Form und Stabilität von Frequenz- Clustern (Multi-Cluster) heraus und erklären damit den hohen Grad an Multistabilität, der in dem paradigmatischen Modell zu finden ist. Im zweiten Teil erweitern wir die Erkenntnisse aus dem ersten Teil auf komplexe Netzwerkstrukturen. Wir beobachten eine Vielzahl von partiell synchronen Zuständen, wie z.B. phasenstarre, Multi-Cluster-, solitäre und chimärenartige Zustände. Solitäre Zustände wurden in einer Vielzahl dynamischer Systeme beobachtet. Die Mechanismen, die hinter ihrer Entstehung stehen, sind in der Literatur jedoch weitgehend unbehandelt. Hier zeigen wir, wie solitäre Zustände in einem Model von Phasenoszillatoren aufgrund der adaptiven Eigenschaft des Netzwerks entstehen und klassifizieren mehrere Bifurkationsszenarien, in denen diese Zustände erzeugt und stabilisiert werden. Darüber hinaus untersuchen wir die Stabilität synchroner Zustände für eine große Klasse komplexer adaptiv gekoppelter Oszillator-Netzwerke. Insbesondere verallgemeinern wir den Master-Stabilitätsansatz über das statische Netzwerkparadigma hinaus, indem wir die Adaptivität berücksichtigen. Wir wenden die neue Methode auf ein adaptives Netzwerk aus gekoppelten Phasenoszillatoren an und zeigen, wie das subtile Zusammenspiel zwischen Adaptivität und Netzwerkstruktur die Entstehung komplexer partieller Synchronisationsmuster hervorruft. Trotz des regen Interesses an adaptiven Netzwerken ist über das Zusammenspiel adaptiv gekoppelter Netzwerkgruppen wenig bekannt. Solche adaptiven Mehrschicht- oder Multiplex-Netzwerke kommen in neuronalen Netzwerken ganz natürlich vor. Wir schlagen ein Konzept zur Erzeugung und Stabilisierung diverser partieller Synchronisationsmuster (Phasen-Cluster) in adaptiven Netzwerken vor. Wir zeigen, dass das "Multiplexen" verschiedene stabile Phasen-Cluster-Zustände induzieren kann, selbst wenn diese in den Einschicht-Systemen nicht stabil sind oder gar nicht existieren. Weiterhin entwickeln wir eine Methode zur Analyse von Laplace-Matrizen von Multiplex-Netzwerken, die einen Einblick in die spektrale Struktur dieser Netzwerke ermöglicht und damit eine Reduktion des Stabilitätsproblems auf die von Einschicht-Netzwerken ermöglicht. Wir setzen die neue Methode ein, um analytische Ergebnisse für die Stabilität der Zustände im Mehrschicht-System zu erhalten.
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