Singular fractional differential equations and cordial Volterra integral operators
Murrulist järku tuletised (st tuletised, mille järk ei ole naturaalarv) on teadlastele huvi pakkunud juba sajandeid. Kuna kaua aega ei olnud näha, millised võiksid olla murruliste tuletiste rakendusvõimalused, siis käsitleti nendega seotud küsimusi tavaliselt vaid teoreetilisest vaatepunktist ja sellest huvitusid enamasti ainult matemaatikud. Viimastel aastakümnetel on aga leitud, et murrulist järku tuletisi sisaldavad diferentsiaalvõrrandid võimaldavad suurepäraselt kirjeldada mitmesuguste materjalide käitumist ja paljude protsesside modelleerimist. Võib öelda, et viimase paarikümne aasta jooksul on murruliste tuletiste populaarsus hüppeliselt kasvanud tänu uutele rakendustele füüsikas, bioloogias, keemias ja paljudes teistes valdkondades. Rakendustes omavad suurt tähtsust ka võrrandid, mis sisaldavad hajuvaid integraale (st integraale, mis klassikalises mõttes hajuvad). Üks tähtsamaid käsitusi hajuvate integraalide puhul on olnud nende lõpliku osa defineerimine. Käesoleva väitekirja peamisteks eesmärkideks on teatavat klassi singulaarsete murrulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandite ühese lahenduvuse analüüsimine ning logaritmilise teguriga hajuvate integraalide Hadamard’i lõpliku osa leidmine. Singulaarsete murruliste diferentsiaalvõrrandite uurimiseks kasutatakse südamlike Volterra integraaloperaatorite teooriat.The concept of fractional derivatives (i.e. derivatives of non-integer order) has interested scientists since at least the seventeenth century. For a long time considerations regarding these type of derivatives were purely theoretical in nature interesting mainly mathematicians. Recently however, fractional derivatives have seen a remarkable growth in popularity because of interesting new applications in physics, chemistry, mechanics, biology, economics, aerodynamics, etc. Equations containing divergent integrals (i.e. integrals that diverge under normal conditions) arise in applications quite often. One of the main concepts under discussion has been the summability, i.e. finding the finite part, of divergent integrals. The present thesis is devoted to the analysis of some classes of singular differential equations involving fractional order derivatives of an unknown function. Also finding the Hadamard finite part of a class of divergent integrals with a logarithmic factor is under consideration. The method for the analysis of singular fractional differential equations is based upon the theory of cordial Volterra integral operators.
diferentsiaalvõrrandid, murdtuletised, singulaarsused, integraaloperaatorid, differential equations, singularities, integral operators
Networked Digital Library of Theses and Dissertations