Arbres N-racinés et un problème de Riemann-Hilbert rationnel : deux sujets de physique mathématique
Dans cette thèse on a résolu un système Fuchsien matriciel avec des conditions sur les valeurs propres associé au système de Schlesinger dont les solutions sont des matrices triangulaires p × p données dans [DGS]. Ces solutions sont exprimées à l'aide des intégrales de di érentielles méromorphes sur des contours fermés sur des surfaces de Riemann compactes. On a considéré deux cas particuliers des solutions de [DGS] obtenus par des choix particuliers de surfaces et de contours d'intégration sur ces surfaces. Plus précisement, dans un de ces cas la solution du système de Schlesinger est polynomiale et dans l'autre cas les solutions sont rationnelles. Dans le premier cas, on a résolu le système Fuchsien associé de dimension matricielle 2 × 2 et un nombre arbitraire de singularités. Dans le deuxième cas on a résolu le système Fuchsien p × p où p est arbitraire avec deux singularités. On a aussi obtenu le nombre des arbres planaires N-racinés avec des degrés de sommets racines xés. Ce problème s'inscrit dans le cadre du problème d'énumération de graphes de rubans. Ce dernier projet fait objet d'un article en préparation.
Système Fuchsien, Système de Schlesinger, Arbres planaires N-racinés
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