Résolution de l'équation d'onde dans un milieu extérieur ou dans l'océan

La solution numérique des équations de type "Helmholtz" est importante dans plusieurs problèmes physiques décrivant la propagation d'ondes harmoniques dans diverses géométries. Les équations de ce type apparaissent ainsi dans la diffraction des ondes radio [3], la propagation de faisceau laser [4], la propagation d’ondes électromagnétiques dans les guides d'ondes [5], la physique des plasmas [6], la propagation d'ondes sismiques [7], et la propagation acoustique sous-marine [8] par exemple. Le problème de la propagation acoustique sous-marine consiste à résoudre des équations aux dérivées partielles. Ces équations gouvernant les phénomènes acoustiques sous-marins sont appelées équations d'ondes. A cause de la nature complexe de l'océan, les diverses équations d'ondes peuvent être très complexes dans la nature, et une solution exacte n'existe que pour des cas très simples. Ainsi l'on trouve diverses équations d'ondes sous différentes formes; chacune ayant ses propres avantages dues à des approximations différentes. Les approximations résultent généralement en une perte de précision ou bien elles limitent la plage de validité. Même lorsque ces approximations permettent une solution exacte, des fonctions spéciales, souvent sous forme intégrale, interviennent, qui sont souvent difficiles à évaluer. Dans de telles situations, une solution numérique directe sur l'équation d'onde peut avoir des avantages significatifs, non seulement en permettant un traitement plus réaliste de l'environnement mais aussi d'un point de vue informatique. Dans ce mémoire on décrira deux méthodes numériques pouvant être appliquées à la solution de la propagation acoustique sous-marine dans un océan complexe. L'une d'elles fait appel aux différences finies (chapitre 3), et l'autre aux éléments finis en deux et trois dimensions (chapitres 4 et 5). Le second chapitre décrit la propagation acoustique sous-marine en général, qui est représentée mathématiquement par une équation aux dérivées partielles, l'équation d'onde, qui y sera établie. Des conditions aux frontières et initiales doivent être prescrites pour que le problème soit bien posé. L'équation d'onde, habituellement appelée équation d'onde réduite, est une équation elliptique scalaire dont la solution est formée de champs transmis et réfléchis en trois dimensions. Il s'avère commode d'exprimer l'équation d'onde en coordonnées cylindriques dans un océan tridimensionnel car dans la plupart des cas le champ n'a qu'une très faible dépendance azimutal. Ceci réduit le problème tridimensionnel en un problème bidimensionnel qui est plus facile à résoudre. Ainsi une solution de l'équation d'onde bidimensionnelle est recherchée laquelle consiste en un champ transmis et un champ réfléchi. Une classe de problèmes tombant dans cette catégorie est la propagation à longue distance et à faible fréquence. Cette classe de problèmes peut être représentée par une équation différentielle pseudopartielle avec coefficients complexes. Ce type d'équation différentielle pseudopartielle est dérivée dans le chapitre 3, et l'on montre comment réduire cette équation en une équation d'onde parabolique de type Schrodinger. Due à la nature de cette classe de problèmes à longue portée et faible fréquence on requiert généralement seulement la solution pour le champ transmis. Cependant, en tenant compte de la continuité de pression sur des interfaces verticales de propriétés physiques différentes et en écrivant l'équation d'onde pour la dilatation au lieu de la pression, les résultats s'avèrent excellents dans le milieu acoustique. L'équation parabolique de type Schrodinger nous permet d'appliquer une méthode de différence finie implicite de type Crank-Nicolson pour obtenir le champ transmis en progressant dans la direction radiale. L'implémentation des différences finies pour résoudre l'équation d'onde requiert l'application de conditions initiales appropriées ainsi que des conditions aux frontières. Les conditions aux frontières pour l'équation d'onde réduite elliptique incluent non seulement les conditions aux frontières dans le fond et la surface mais aussi sur les murs (voir la méthode des éléments finis appliquée sur cette équation à partir du chapitre trois). Le type de problème discuté précédemment peut être résolu en assimilant le rayon à un temps fictif, et le problème de conditions aux frontières pur est transformé en un problème de condition initiale. Cependant, un autre type de condition frontière (appelée condition frontière à l'interface) apparaît et doit être traitée de façon réaliste et exacte. Dans l'océan, la température, salinité et la pression affectent la vitesse du son aussi bien que la densité de la masse d'eau créant le milieu stratifié. Les sédiments composant le fond de l'océan sont stratifiés par le dépôt de matériaux sédimentaires. Ces phénomènes stratifient l'environnement océanographique en plusieurs couches, formant des interfaces. Sur chaque interface des conditions de continuité de pression et de déplacement vertical (ou vitesse acoustique normale à la surface) doivent être imposées. Toute cette mise en oeuvre pour traiter l'océan de façon réaliste est décrite dans le chapitre trois. Aussi dans le chapitre quatre, on impose ces conditions aux interfaces dans le code d'éléments finis.

Name thesis:degree_name

M. Sc. A.

Level thesis:degree_level

Maîtrise

Discipline thesis:degree_discipline

Génie mécanique

Grantor dc:publisher

Université de Sherbrooke

Year dc:date.issued

1993

Author dc:creator

• Vallières, Alain

Advisor dc:contributor.advisor

• Payre, Guy

• Acoustique sous-marine
• Ondes

Language dc:language.iso

fr

Handle dc:identifier.uri

http://hdl.handle.net/11143/16971

OAI identifier oai:identifier

oai:usherbrooke.scholaris.ca:11143/16971