L'approche moderne de l'étude mathématique des phénomènes de transition de phases

Historiquement, l'étude des phénomènes de transitions de phases a été entreprise selon deux approches principales. Tout en donnant un aperçu dans un dernier chapitre de l'approche classique, nous allons surtout décrire dans ce mémoire le point de vue moderne. Pour ce faire, nous allons reprendre au chapitre 2 le théorème d'extension des mesures. En situant celui-ci dans un cadre propre à notre travail, nous pourrons en donner une démonstration simplifiée. Nous présenterons ensuite une démonstration constructive récente du théorème d'existence des densités de Radon-Nikodym, ce qui nous obligera à faire quelques rappels sur la notion d'espérance conditionnelle. Nous en profiterons pour introduire quelques résultats de convergence des martingales renversées, celles-ci étant utilisées à la fin du chapitre 3. Un troisième résultat auquel nous ferons appel lors de la description des phénomènes de transitions de phases selon l'approche moderne, est celui qui stipule que dans notre contexte, les densités de Radon-Nikodym sont des dérivées. Après en avoir donné une démonstration, nous terminerons le chapitre 2 avec quelques rappels sur la convergence faible des mesures afin de préciser le sens de cette convergence lorsqu'elle se situe dans les espaces de probabilités particuliers de notre travail. Tous ces résultats joueront un rôle essentiel dans la première partie du chapitre 3, où nous établirons, suivant Ruelle, que les états de Gibbs forment l'enveloppe convexe compacte non-vide d'une sous-classe bien précise. L'ensemble des états de Gibbs est aussi un simplexe. Ce fait sera établi dans la deuxième partie du chapitre 3 en empruntant la démarche originale de Dynkin où, pour des ensembles de mesures de probabilités, la théorie de Choquet-Meyer peut être reprise sans faire appel à des notions de topologie. Notre mémoire se terminera en donnant un aperçu de l'approche classique à l'aide de l'un des plus vieux modèles, le modèle de Ising du ferromagnétisme.

Name thesis:degree_name

M. Sc.

Level thesis:degree_level

Maîtrise

Discipline thesis:degree_discipline

Mathématiques

Grantor dc:publisher

Université de Sherbrooke

Year dc:date.issued

1983

Author dc:creator

• Bravo, Gina

Advisor dc:contributor.advisor

• Giroux, Gaston

• Probabilités
• Transitions de phase
• Physique mathématique
• Théorie quantique

Language dc:language.iso

fr

Handle dc:identifier.uri

http://hdl.handle.net/11143/14565

OAI identifier oai:identifier

oai:usherbrooke.scholaris.ca:11143/14565