Zur Differentialgeometrie zweiparametriger Geradenmengen im KLEINschen Modell

In der vorliegenden Arbeit werden Geradenkongruenzen des projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes differentialgeometrisch untersucht. Nach J. PLÜCKER lassen sich Geraden in gleicher Weise als Grundelemente eines Geradenraumes auffassen wie die Punkte in einem Punktraum. Unter Beachtung dieser Überlegung scheint eine "natürliche" Behandlung der Geradenkongruenzen interessant und sinnvoll. Sie bildet den Gegenstand der vorliegenden Dissertation. Ein besonderes Augenmerk richtet sich dabei auf die Frage nach "kleinsten" Geradenkongruenzen ("Minimalkongruenzen") in der Geradenmenge des reellen projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes. Dahinter verbirgt sich eine gewisse Analogiebildung in der Liniengeometrie, die der klassischen Differentialgeometrie entstammt. Die Geradenkongruenzen bilden hierbei das liniengeometrische Analogon zu den Flächen des dreidimensionalen (Punkt-)Raumes. Das Wort "Kleinste" stellt im Geradenraum einen Bezug zu den Minimalflächen in der Differentialgeometrie her. Nun gestatten diese Fragestellungen in der Liniengeometrie eine anschauliche Interpretation, sobald man ein Punktmodell des Geradenraumes vorliegen hat. Einparametrige Geradenmannigfaltigkeiten (Regelflächen) lassen sich darin als Kurven und Geradenkongruenzen als zweidimensionale Flächen auffassen. Die vierparametrige Geradenmenge des reellen projektiven dreidimensionalen Raumes ist in diesem Modell eine Quadrik vom Index 2 in einem reellen projektiven fünfdimensionalen Raum, die so genannte KLEINsche Hyperquadrik. Der Modellwechsel wird durch die KLEINsche Abbildung vollzogen.

Level thesis:degree_level

thesis.doctoral

Grantor dc:publisher

Technische Universität Dresden

Year

2005

Author dc:creator

• Hamann, Marco

Contributors dc:contributor

• Weiß, Gunter
• Stamou, Georg
• Stachel, Hellmuth

• Geradenkongruenzen
• Liniengeometrie
• Minimalkongruenzen
• line congruences
• line geometry
• minimal congruences