Die Tits-Alternative für eine relevante Klasse endlich präsentierter Gruppen unter besonderer Berücksichtigung computeralgebraischer Aspekte
Eine Gruppe erfüllt die Tits-Alternative, wenn sie entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe vom Rang 2 enthält oder virtuell auflösbar ist, d. h. eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Diese Eigenschaft geht auf J. Tits zurück, der sie für endlich erzeugte lineare Gruppen nachwies. Es wird eine relevante Klasse endlich präsentierter Gruppen in Bezug auf die Tits-Alternative untersucht. Die betrachteten Gruppen stellen eine Verallgemeinerung von Pride-Gruppen und der von Vinberg betrachteten Gruppen erzeugt von periodisch gepaarten Relationen für drei Erzeugende dar. Zusätzlich treten diese Gruppen als Fundamentalgruppen hyperbolischer Orbifaltigkeiten auf. Es wird der Nachweis der Tits-Alternative unter bestimmten Voraussetzungen an die Präsentierungen der betrachteten Gruppen erbracht. Für diesen Nachweis werden verschiedene Methoden angewandt: Es werden zum einen homomorphe Bilder der Gruppen betrachtet. Zum anderen wird die Existenz wesentlicher Darstellungen in eine lineare Gruppe nachgewiesen. Basierend auf diesen Darstellungen kann in vielen Fällen der Nachweis der Existenz nicht-abelscher freier Untergruppen erbracht werden. Zusätzlich wird für den Nachweis der Endlichkeit und damit der Tits-Alternative einiger Gruppen eine Methode angewandt, die auf Berechnungen von Gröbner-Basen in nicht-kommutativen Polynomringen basiert. Es wird dabei die Dimension der Gruppenringe betrachtet als Vektorräume berechnet. Für die betrachtete Klasse von Gruppen wird für Relationen der Blocklänge 1 die Tits-Alternative vollständig nachgewiesen. Als Folgerung ergibt sich eine Klassifikation der endlichen unter diesen Gruppen.
Tits-Alternative, nicht-kommutative Gröbner-Basis, Tits alternative, non-commutative Gröbner basis
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