Une démonstration du lemme des cinq dans une catégorie non abélienne
Cette thèse vise essentiellement à donner une autre démonstration du lemme des cinq dans une catégorie qui n'est ni abélienne, ni même additive. Ce résultat vient donc généraliser notre travail de fin d'étude (voir [10]) qui consistait à démontrer le lemme des cinq dans la catégorie des modules à gauche et dont la démonstration reposait sur la méthode de "diagram chasing". Mais avant, nous allons présenter les définitions de morphisme spécial, de décomposition fermée, d'exactitude ainsi que de morphisme fortement fermé et honnête et nous en exposerons certaines propriétés importantes. Le but du chapitre premier est de rappeler les notions essentielles à la bonne compréhension de cette thèse. Au chapitre II, nous allons introduire les notions de morphisme spécial et de décomposition fermée en plus de présenter des propriétés primordiales pour la suite de ce travail. Au chapitre III, nous étudierons la notion d'exactitude dans une catégorie non abélienne et nous verrons que ce concept coïncide avec l'exactitude au sens ordinaire dans la catégorie des ensembles pointés. Afin de transférer les propriétés d'exactitude de suites de morphismes d'une catégorie non abélienne aux suites de morphismes de la catégorie des ensembles pointés, nous allons nous servir des notions d'image directe et d'image réciproque de sous-objets. Le chapitre IV sera consacré à la construction de deux foncteurs qui seront fort utiles pour le résultat principal de cette thèse. L'utilité de ces deux foncteurs sera mis en lumière lorsque nous ferons le passage des propriétés d'exactitude d'une catégorie non abélienne à la catégorie des ensembles pointés car dans cette dernière, l'exactitude a son sens habituel. Le chapitre V permettra de faire le passage des propriétés d'exactitude mentionné au paragraphe précédent en utilisant les définitions d'épimorphisme fort et de morphisme honnête. Finalement, le chapitre VI est consacré à la présentation d'une démonstration du lemme des cinq dans une catégorie non abélienne, ce qui constitue le résultat principal de cette thèse.
Catégories (Mathématiques), Morphismes (Mathématiques), Théorie des foncteurs, Cinq (Le nombre), Catégories abéliennes
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