ON SOME GEOMETRIC PROPERTIES OF 𝜑-STATIC SPACES

Lo scopo di questa tesi è l’analisi di proprietà geometriche di alcune strutture, che sono denotate con φ-static spaces, che consistono in una mappa fra varietà Riemanniane e una funzione detta potenziale sulla varietà di partenza, le quali soddisfano un sistema accoppiato di PDE. Tali spazi rientrano come caso specifico di spazi statici, in quanto sono varietà Riemanniane tramite le quali è possibile costruire, tramite un prodotto warped, soluzioni statiche delle equazioni di Einstein della Relatività Generale dove il tensore di stress-energia è relativo a un campo φ dato da una mappa fra la varietà di partenza e una varietà Riemanniana fissata. La prima parte del lavoro riguarderà la presentazione dei principali oggetti e metodi utilizzati nei capitoli successivi, al contempo fissando il formalismo. La parte successiva fornirà alcune condizioni di rigidità che coinvolgeranno i tensori di curvatura algebrica, ovvero tensori 4 volte covarianti che condividono le stesse simmetrie del tensore di Riemann a livello algebrico. Nello specifico, si applicherà il metodo di Bochner, richiedendo una condizione di non negatività riguardante l’operatore di curvatura, allo scopo di ottenere rigidità di tensori di curvatura algebrica che siano armonici. Dopodiché, saranno dati alcuni risultati con scelte specifiche del tensore di curvatura algebrica. Il capitolo finale sarà interamente dedicato allo studio dei φ-static spaces. L’analisi che ne verrà fatta seguirà approcci simili a quelli usati nel caso dei classici spazi statici vuoti. Nel dettaglio, si possono riottenere alcuni dei risultati già noti in questo contesto, come il fatto che la curvatura scalare sia costante - qui sarà costante una funzione scalare legata alla curvatura scalare e alla mappa tangente - o il fatto che le ipersuperfici di livello zero della funzione potenziale siano totalmente geodetiche sulla varietà di partenza. Successivamente, si daranno alcuni vincoli all’esistenza di tali spazi, così come si guarderà alla loro relazione con le varietà di Einstein armoniche - le quali sono varietà dove il tensore di Ricci è dato da un multiplo della metrica più una parte dipendente dalla mappa, richiedendo che questa sia armonica. Dopodiché, ci si concentrerà su quegli spazi in cui la funzione potenziale è data dalla divergenza di un campo vettoriale conforme sulla varietà di partenza. Nello specifico, si darà una parziale caratterizzazione di tali spazi su varietà compatte con bordo tramite un funzionale di bordo, dipendente dalla metrica sulla varietà di base e dalla mappa, nella cui definizione è coinvolto il suddetto campo vettoriale. Da ultimo, si considererà il caso in cui nella varietà Riemanniana vi sia, oltre a una struttura di φ-static space, anche un campo vettoriale conforme chiuso. In tal caso, il gradiente della funzione potenziale e il campo vettoriale saranno proporzionali e, come conseguenza, questo influenzerà sia la geometria della varietà di base, la quale localmente si spezzerà in un prodotto warped avente come fette varietà di Einstein armoniche, sia la mappa, la quale non dipenderà dal flusso del campo vettoriale e sarà in alcuni casi costante.

Grantor dc:publisher

Università degli Studi di Milano

Year dc:date

2023

Author dc:creator

• MARIANI, MARCO

Contributors dc:contributor

• tutor: M. Rigoli
• P. Mastrolia ; coordinatore: D. P. Bambusi
• M. Mariani
• RIGOLI, MARCO
• BAMBUSI, DARIO PAOLO

• static space
• harmonic map
• Einstein manifold
• conformal vector field
• boundary functionals
• Settore MAT/03 - Geometria

Statement dc:rights

• info:eu-repo/semantics/openAccess

Language dc:language

ita

Identifier

http://dx.doi.org/10.13130/mariani-marco_phd2023-06-21
10.13130/mariani-marco_phd2023-06-21

OAI identifier oai:identifier

oai:air.unimi.it:2434/972589