ADVANCES IN STOCHASTIC ANALYSIS ON SPACES OF MEASURES: KOLMOGOROV EQUATIONS RELATED TO STOCHASTIC FILTERING AND MEAN FIELD OPTIMAL STOPPING

Lo scopo di questa Tesi è di studiare alcuni problemi di analisi stocastica e controllo ottimo stocastico, dove alcune variabili prendono valore in spazi di misure positive e di probabilità. La maggior parte del lavoro è dedicata all'introduzione e allo studio di alcune equazioni di Kolmogorov retrograde su spazi di misure associate a problemi di filtraggio. I processi a valori in spazi di misure sorgono naturalmente nel contesto del filtraggio stocastico, dove si possono formulare due equazioni differenziali stocastiche, dette equazioni di Zakai (Z) e di Kushner-Stratonovich (KS), che vengono risolte rispettivamente da un processo a valori nelle misure positive e da un provesso a valori nelle probabilità. Un modo classico per studiare questi problemi è assumere che i processi ammettano una densità per poi sfruttare il calcolo stocastico su spazi Hilbert. L'approccio utilizzato in questa tesi differisce da questo poiché non assumiamo l'esistenza di una densità e lavoriamo direttamente nel contesto delle misure. Formuliamo due equazioni di Kolmogorov retrograde, che sono equazioni alle derivate parziali paraboliche con una data condizione finale, una su uno spazio di misure positive (nel caso Z) e una su uno spazio di misure di probabilità (nel caso KS). Nella letteratura recente, le EDP su spazi di misure di probabilità sono state un argomento di grande interesse, grazie alla connessione con i giochi a campo medio e le equazioni di McKean-Vlasov. Qui presentiamo una nuova equazione su uno spazio di misure di probabilità, ottenuta in un modo completamente diverso, e introduciamo una EDP su uno spazio di misure positive, che è uno dei primi problemi di questo tipo. Studiamo l'esistenza e l'unicità di una soluzione da due diversi punti di vista. Innanzitutto, ci concentriamo sulle soluzioni classiche. Dimostriamo che entrambe le equazioni introdotte ammettono un'unica soluzione classica, purché la condizione finale sia scelta sufficientemente regolare. Per raggiungere questo risultato, abbiamo bisogno di alcuni risultati intermedi di interesse indipendente. In particolare, mostriamo delle formule di Itô per la composizione di processi di filtraggio e funzioni a valori reali definite su spazi di misure. Inoltre, studiamo la regolarità della soluzione delle equazioni di filtraggio rispetto al dato iniziale. Trattandosi di funzioni su spazi di misure, un punto chiave è discutere opportunamente le nozioni di derivate, specialmente nel caso di misure positive. Successivamente, esaminiamo il caso in cui la condizione finale è meno regolare. Una prima osservazione è che l'approccio usato nel caso classico dipende fortemente dalla regolarità della condizione finale. Pertanto, dobbiamo cambiare la nozione di soluzione e cercare soluzioni di viscosità. A questo scopo, ci concentriamo sulla EDP associata all'equazione di KS. In letteratura sono disponibili solo pochi risultati sulle soluzioni di viscosità per questi tipi di problema e, in particolare, l'unicità è un problema molto difficile. In questo caso dimostriamo l'esistenza e l'unicità di una soluzione di viscosità e, in particolare, forniamo un teorema del confronto. Nella parte finale di questa Tesi, affrontiamo un problema diverso, proveniente dalla teoria dell'arresto ottimale. Studiamo una classe di problemi di arresto ottimo tempo-inconsistenti ad orizzonte finito di tipo campo medio, che include quelli relativi a processi di diffusione di tipo McKean-Vlasov e funzioni di utilità ricorsive. L'interazione di tipo campo medio è dovuta al fatto che consideriamo un costo terminale dipendente non solo dal processo arrestato ma anche dalla sua legge (che è diversa dalla legge del processo valutata al tempo di arresto). Nonostante l'inconsistenza temporale del problema, dimostriamo che è ottimale fermarsi quando il processo valore colpisce per la prima volta il reward, come nel caso standard tempo consistente. Risolviamo il problema approssimando il processo valore con una sequenza di inviluppi Snell. Una sequenza di tempi di arresto ottimali è quindi data dai tempi di contatto di ciascuno dei processi valore con il rispettivo reward. Quindi, sotto opportune ipotesi, mostriamo che questa sequenza di tempi di contatto converge in probabilità al tempo di contatto per il problema di arresto ottimo di tipo campo medio, e che il limite è ottimale.

Grantor dc:publisher

Università degli Studi di Milano

Year dc:date

2023

Author dc:creator

• MARTINI, MATTIA

Contributors dc:contributor

• tutor: M. A. Fuhrman ; coordinatore dottorato: D. P. Bambusi
• M. Martini
• FUHRMAN, MARCO ALESSANDRO
• BAMBUSI, DARIO PAOLO

• Backward Kolmogorov equation
• Stochastic filtering
• Measure-valued processe
• Differential equations on spaces of measure
• Viscosity solution
• Mean-field optimal stopping
• Settore MAT/06 - Probabilita' e Statistica Matematica

Statement dc:rights

• info:eu-repo/semantics/openAccess

Language dc:language

eng

Identifier

http://dx.doi.org/10.13130/martini-mattia_phd2023-03-02
10.13130/martini-mattia_phd2023-03-02

OAI identifier oai:identifier

oai:air.unimi.it:2434/954033