Kontinuumihypoteesin negaatio lokaalissa joukko-opissa

Tutkimme kontinuumihypoteesin negaatiota lokaalin joukko-opin näkökulmasta. Näytämme, että kontinuumihypoteesia ei voi päätellä lokaalin joukko-opin intuitionistisessa eikä klassisessa versiossa. Ensimmäisen tuloksen saamme helpohkosti sopivan esilyhdetopoksen avulla ja jälkimmäistä varten kehittelemme myös hieman lyhdeteoriaa. Aloitamme lyhyellä esitietopaketilla, jonka jälkeen määrittelemme topokset. Määrittelemme aliobjektin käsitteen ja konstruoimme topoksessa aliobjektien alkukuvat, äärelliset leikkaukset ja tulot. Lisäksi konstruoimme implikaatit sekä projektion indusoimalle alkukuvakuvauksille adjungaatin, joka vastaa kaikkikvantifiointia. Seuraavaksi määrittelemme topoksen sisäisen kielen, joka on eräänlainen joukko-oppi. Näytämme, miten kieli voidaan tulkita topoksessa ja johdamme sille eheät päättelysäännöt. Sisäistä kieltä käyttäen konstruoimme aliobjekteille kuvat ja äärelliset yhdisteet. Tyhjän yhdisteen ja implikaatin avulla saamme myös pseudokomplementit, joiden avulla voimme määritellä Boolen topokset. Osoitamme, että topos on Boolen topos, jos ja vain jos sen sisäisen kielen logiikka on klassinen. Sisäisen kielen avulla konstruoimme vielä menetelmiä, joiden avulla voimme siirtyä topoksen morfismista sisäisen kielen funktioon ja toisin päin. Osoitamme, että monomorfismista tulee sisäiseen kieleen injektio ja että sisäisestä surjektiosta saadaan ns. parametrisoituja epimorfismeja. Tämän jälkeen muotoilemme kontinuumihypoteesin negaation sisäisen kielen lauseena ja konstruoimme esilyhdetopoksen, jossa kyseinen lause on tosi. Saatu topos ei ole Boolen topos, mutta näemme jo, että kontinuumihypoteesia ei voi lokaalissa intuitionistisessa joukko-opissa päätellä. Jatkamme vielä tavoitteenamme löytää vastaavanlainen Boolen topos. Määrittelemme Grothendieckin topologiat ja niiden lyhteet. Määrittelemme erityisesti ns. tiheän topologian ja näytämme sen yhteyden kaksoisnegaatioon. Osoitamme, että on olemassa lyhteytysfunktori, joka liittää jokaiseen esilyhteeseen lyhteen tietyllä optimaalisella tavalla. Osoitamme myös, että lyhteet muodostavat aina topoksen ja että tiheän topologian lyhteet muodostavat Boolen topoksen. Lopuksi palaamme vielä kontinuumihypoteesin pariin. Osoitamme, että ottamalla aiemmin löydetyn esilyhdetopoksen tiheän topologian määräämän lyhdetopoksen saamme Boolen topoksen, jossa kontinuumihypoteesin negaatio on tosi. Loppupäätelmänä kontinuumihypoteesia ei voi päätellä edes lokaalissa klassisessa joukko-opissa.

Grantor dc:publisher

Helsingin yliopisto

Year dc:date.issued

2020

Author dc:creator

• Setälä, Kristian

Contributors dc:contributor

• Helsingin yliopisto, Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
• University of Helsinki, Faculty of Science
• Helsingfors universitet, Matematisk-naturvetenskapliga fakulteten

• kontinuumihypoteesi
• topos
• joukko-oppi
• lyhde
• intuitionistinen logiikka

Language dc:language.iso

fin

Identifier URI

URN:NBN:fi:hulib-202012094768

OAI identifier oai:identifier

oai:helda.helsinki.fi:10138/322527