Über die Automorphismengruppen topologischer Markovshifts mit abzählbar unendlicher Zustandsmenge
Wir untersuchen die algebraischen Eigenschaften der Automorphismengruppen topologischer Markovshifts mit abzaehlbar unendlichem Zustandsraum zusammen mit der von diesen Gruppen induzierten Dynamik auf dem Shiftraum, den periodischen Punkten, der kanonischen sowie der 1-Punkt-Kompaktifizierung und dem kanonischen Rand. Wir geben eine vollstaendige Antwort auf die Frage nach der Kardinalitaet der Automorphismengruppe fuer lokalkompakte und nicht lokalkompakte Markovshifts mit abzaehlbar unendlicher Zustandsmenge, beleuchten die immense Untergruppenstruktur und beweisen ein Analogon zu Ryan's Theorem fuer den nicht kompakten Fall. Weiterhin geben wir eine Charakterisierung der 1-Punkt-Kompaktifizierungen lokalkompakter Markovshifts, deren Automorphismengruppen abzaehlbar sind, mit topologisch-dynamischen Begriffen. Anschliessend wird der Unterschied zwischen sliding-Block-Automorphismen und Automorphismen, die keine beschraenkte Kodierlaenge haben, herausgearbeitet. Zu jeder Darstellung eines nicht kompakten Markovshifts definiert man die darstellungsabhaengige Untergruppe der Automorphismen mit beschraenkter Kodierlaenge. Diese bilden eine partiell geordnete Hierarchie innerhalb der Automorphismengruppe, deren Eigenschaften wir naeher untersuchen. Einzig die Potenzen der Shiftabbildung sind in allen (Graphen-)Darstellungen kodierlaengenbeschraenkt. Wir geben eine Klasse lokalkompakter Markovshifts mit abzaehlbar unendlicher Zustandsmenge an, die ueberabzaehlbar viele Automorphismen endlicher Ordnung aufweisen, die in keiner Graphendarstellung beschraenkte Kodierlaenge haben. Tatsaechlich lassen sich zu all diesen Automorphismen spezielle Nicht-Graphendarstellungen angeben, in denen sie zu sliding-Block-Codes werden, da jeder Automorphismus endlicher Ordnung zu einem 1-Block-Code umcodierbar ist. Wir zeigen, dass die Automorphismengruppen einer speziellen Klasse lokalkompakter Markovshifts isomorph zur direkten Summe einer zentrumslosen Gruppe und der von der Shiftabbildung erzeugten zyklischen Gruppe sind. Wir definieren die kanonische-Rand-Darstellung der Automorphismengruppe und studieren deren Bild. Abschliessend weisen wir nach, dass die Pfadstruktur bei $\infty$ eine neue Konjugationsinvariante fuer lokalkompakte Markovshifts liefert und bestimmen deren Einfluss auf das Bild der kanonischen-Rand-Darstellung und die Fortsetzbarkeit von Automorphismen eines Teilsystems auf den gesamten Markovshift.
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