Upscaling und Mehrgitterverfahren für Strömungen in heterogenen porösen Medien
Die Arbeit beschaeftigt sich mit Upscalingsverfahren und Mehrgitterverfahren fuer ein Mehrskalenproblem. Wir betrachten ein Modell fuer die Stroemung in einem heterogenen poroesen Medium, wie es in einem Grundwasserleiter vorliegt. Durch die Heterogenitaeten der Permeabilitaet des Bodens auf den verschiedenen Laengenskalen entsteht das Mehrskalenproblem. Ist man hier am Verhalten auf der Makroskala interessiert, muss der Einfluss kleinskaliger Vorgaenge durch ein geeignetes Upscaling auf dieser beruecksichtigt werden. Wir entwickeln mit der Coarse Graining Methode ein neues Verfahren zum Upscaling, indem das feinskalige Permeabilitaetsfeld hochskaliert wird. Durch das Hochskalieren enthaelt das Feld nur noch Heterogenitaeten, die auf Skalen groesser als eine gegebene Laengenskala variieren. Die Methode liefert im Rahmen einer stochastischen Modellierung einen skalenabhaengigen effektiven Permeabilitaetstensor. Die gewonnene effektive Permeabilitaet wird stoerungstheoretisch und mithilfe einer Renormierungsgruppen-Analysis berechnet. Im Grenzfall eines Upscalings zu sehr grossen Skalen erhaelt man im zweidimensionalen, isotropen Fall den geometrischen Mittelwert, der als exakter Wert bekannt ist. Wir erweitern die theoretische Herleitung des hochskalierten Permeabilitaetsfeldes zu einem numerischen Upscalingsverfahren der Permeabilitaet, in der lokal hochskalierte Permeabilitaetskoeffizienten durch die Loesung eines Zellproblems berechnet werden. Die numerischen Berechnungen erlauben die Ueberpruefung der theoretischen Resultate aus der Coarse Graining Methode, die abgesehen von der Abweichung der hochskalierten Permeabilitaet von Realisierung zu Realisierung in guter Uebereinstimmung sind. In Vergleichen mit einfachen Upscalingsmethoden wie arithmetischer oder geometrischer Mittelung erweist sich das numerische Coarse Graining am besten. Weiter untersuchen wir die theoretisch abgeleiteten Groessen mit dem numerischen Coarse Graining fuer grosse Varianzen des Feldes, fuer die die stoerungstheoretische Berechnung nicht mehr sinnvoll ist. Auf der Basis des numerischen Upscalingsverfahrens entwickeln wir ein algebraisches Mehrgitterverfahren, bei dem der Grobgitteroperator mithilfe der hochskalierten Permeabilitaetsfeldern durch das iterative Coarse Graining berechnet wird. Durch diese Vorgehensweise wird der Grobgitteroperator, der die langwelligen Fehlerkomponenten in einem Mehrgitterzyklus reduziert, an das Problem angepasst. Weiter entwickeln wir fuer das Verfahren Transferoperatoren, die die Loesungen der Zellprobleme benutzen und das Konvergenzverhalten verbessern. Zum Loesen der Stroemungsgleichung, die mit der Finite-Element-Methode diskretisiert wird, vergleichen wir bis zu 15 Mehrgitterverfahren. Neben dem Coarsening-Verfahren betrachten wir das Ruge-Stueben-Verfahren und das Schurkomplement-Verfahren als algebraische Mehrgitterverfahren. Ausserdem setzen wir Verfahren ein, die zur Berechnung des Grobgitteroperators einfache Upscalingsverfahren heranziehen und Verfahren, die mit dem Galerkinprodukt und matrixabhaengigen Transferabbildungen arbeiten. Als Kriterium fuer die Effizienz der Verfahren betrachten wir ausschliesslich die numerisch ermittelten Konvergenzraten. Damit untersuchen wir fuer zufaellig generierte Medien und periodische Medien anhand des Modellproblems ausfuehrlich, wie effizient die Mehrgitterverfahren, die die verschiedenen Upscalingsverfahren und Transferoperatoren verwenden, im Vergleich zu den algebraischen Verfahren sind. Effizienter als die einfachen Verfahren arbeiten die algebraischen Verfahren und die Verfahren mit Galerkinprodukt und matrixabhaengiger Prolongation. Zur Berechnung der Stroemung fuer stark heterogene Felder, Realisierungen des Zufallsfeldes wie auch periodische Medien, arbeiten das Ruge-Stueben-Verfahren und die Galerkinprodukt-Verfahren mit matrixabhaengiger Prolongation in fast allen Faellen am besten. Fuer die Galerkinprodukt-Verfahren mit matrixabhaengigen Transferoperatoren sind die Konvergenzraten, mit Ausnahme fuer das Laminat und die Schachbrett-Medien bei starken Heterogenitaeten, auch fuer die Medien mit steifen Einlagerungen sehr gut. Das Vorgehen beim Coarsening-Verfahren, den Grobgitteroperator durch das numerische Coarse Graining zu bestimmen, erweist sich fuer die Realisierungen des Zufallsfeldes als Permeabilitaetsfeld als erfolgreich. Im Vergleich zum Ruge-Stueben-Verfahren und den Mehrgittervarianten mit matrixabhaengigen Transferoperatoren und Galerkinprodukt liefert das Coarsening-Mehrgitterverfahren mit Ausnahme des Schachbrett-Mediums aber fuer periodische Felder mit steifen Einlagerungen schlechtere Konvergenzraten. Die Konvergenzraten zeigen zusammenfassend, dass das Ruge-Stueben-Mehrgitterverfahren fuer alle Medien mit grosser Heterogenitaet sehr effizient arbeitet. Nur dieses erweist sich als robust.
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