Über die Endlichkeit der Klassenzahl gerader Gitter der Signatur (2,n) mit einfachem Kontrollraum

Wir untersuchen Modulformen zu orthogonalen Gruppen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf Heegnerdivisoren mit Hilfe des Dualitätssatzes von Borcherds. Enthält ein gewisser Kontrollraum, bestehend aus vektorwertigen elliptischen Modulformen, keine nichttriviale Spitzenform, so ist jeder Heegnerdivisor auf der orthogonalen Halbebene der Hauptdivisor einer automorphen Form, genauer eines Borcherdsproduktes. Dabei hängt die betrachtete orthogonale Gruppe ebenso wie der Kontrollraum von einem geraden Gitter der Signatur (2,n) ab. Wir zeigen, daß unter milden zusätzlichen Voraussetzungen für fast alle Isomorphieklassen solcher Gitter nichttriviale Spitzenformen im Kontrollraum existieren. Gibt es im Kontrollraum eines Gitters nur die triviale Spitzenform, so codieren die Fourierkoeffizienten einer bestimmten Eisensteinreihe die Gewichte gewisser holomorpher orthogonaler Modulformen, die nach unten durch das singuläre Gewicht beschränkt sind. Für Gitter großer Determinante finden wir solche Fourierkoeffizienten, die diese Schranke unterschreiten. Daher muß der Kontrollraum dann nichttriviale Spitzenformen enthalten. Ferner konstruieren wir eine Liftungsabbildung von elliptischen Modulformen zur Hecke-Gruppe der quadratfreien Stufe N in den Kontrollraum. Diese ist auf gewissen durch das Verschwinden von Fourierkoeffizienten in arithmetischen Progressionen definierten Räumen injektiv und überführt Spitzenformen in Spitzenformen. Für Gitter, deren Determinante eine ungerade Primzahl ist, ist dieser Lift ein Isomorphismus zwischen dem Heckeschen '+'- oder '-'-Raum und dem Unterraum der Spitzenformen im Kontrollraum, abhängig von der Gestalt des Gitters.

Level thesis:degree_level

thesis.doctoral

Grantor dc:publisher

Universität Heidelberg

Year

2002

Author dc:creator

• Bundschuh, Michael

Contributors dc:contributor

• Freitag, Eberhard

Repository record source_url

http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/1943

OAI identifier oai:identifier

oai:archiv.ub.uni-heidelberg.de:1943