Singuläre Modulformen und involutive Algebren
In dieser Dissertation wird die Theorie der Siegelschen Modulformen, insbesondere die von E. Freitag in den LNM 1487 (Singular Modular Forms and Theta Relations) gewonnenen Resultate verallgemeinert. Ausgangspunkt der Arbeit ist eine endlich-dimensionale Algebra über den rationalen Zahlen, ausgestattet mit einer positiven Involution. Diese Algebren sind bekannt und von Mumford klassifiziert; mittels Tensorierung mit den reellen Zahlen kann man ein Tubengebiet konstruieren, also eine verallgemeinerte obere Halbebene. In solchen Algebren zeichnet man eine maximale Ordnung als 'ganz' aus. Man erhält eine Verallgemeinerung der Modulgruppe, als Untergruppe der symplektischen Gruppe, die ihrerseits auf die verallgemeinerte obere Halbebene wirkt, und kann den Begriff der (vektorwertigen) Modulform definieren. Dieser umfasst z.B. die bekannten Fälle der Siegelschen, Hermitschen und Hilbert-Siegelschen Modulformen. Es werden verallgemeinerte Theta-Reihen, mit Hilfe von Gittern, eingeführt und deren Konvergenz auf der oberen Halbebene gezeigt. Die Untersuchung des Transformationsverhaltens dieser Reihen unter der symplektischen Gruppe, ergibt Bedingungen, unter welchen sie (singuläre) Modulformen darstellen. Es wird die Theorie der singulären Modulformen, über die Fourier-Jacobi-Entwicklung, verallgemeinert, und eine Verallgemeinerung der fundamentalen Beziehung zwischen singulären Gewichten und der Singularität (von Modulformen) hergestellt. Ferner wird ein Raum von Fourier-Reihen eingeführt (der große singuläre Raum), der bestimmte Theta-Reihen enthält. Die Erzeugung dieses Raumes durch Theta-Reihen wird, mit Hilfe sogenannter Kernformen und Lokalisierungstechniken, auf ein endliches kombinatorisches Lemma zurückgeführt. Dessen Beweis liefert dann als Hauptresultat der Dissertation die (endliche) Erzeugung des Raumes der singulären Modulformen zu einer Hauptkongruenzgruppe durch spezielle Theta-Reihen.
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