Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics, and Empirical Facts
Levy-Prozesse, das heißt stochastische Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen, stellen eine Verallgemeinerung der Brownschen Bewegung dar. Aufgrund ihrer günstigen analytischen Eigenschaften hat sich die Brownsche Bewegung als Standardmodell für viele Prozesse in der Finanzmathematik durchgesetzt. Das empirisch beobachtbare Verhalten der Finanzmärkte wird durch Modelle, die auf der Brownschen Bewegung beruhen, jedoch nur unzureichend wiedergegeben. Durch die Verwendung der allgemeineren Levy-Prozesse an Stelle der Brownschen Bewegung lässt sich hier eine erhebliche Verbesserung erreichen. (Siehe etwa Eberlein/Keller (1995).) In der vorliegenden Arbeit wird die Anwendung von Levy-Prozessen bei der Modellierung von Aktienkursen, Optionspreisen und Zinsstrukturkurven untersucht. Für die Aktienkursmodellierung wird eine Charakterisierung der Esscher-Transformation gegeben. Es wird eine effiziente Methode vorgestellt, mit der man das Levy-Maß einer verallgemeinert hyperbolischen Verteilung bestimmen kann. Als Korollar ergibt sich hier eine Aussage über die Menge der zulässigen Optionspreise. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein effizientes Verfahren zur Berechnung europäischer Optionspreise vorgestellt, das auf der schnellen Fourier-Transformation (FFT) beruht. Im dritten Teil wird das in Eberlein/Raible (1999) vorgestellte Zinsstrukturmodell erweitert. Außerdem wird nachgewiesen, dass das äquivalente Martingalmaß in diesem Modell eindeutig bestimmt ist. Ferner wird eine empirische Untersuchung an Anleihe-Daten durchgeführt, die auch für den Bereich der Zinsstruktur-Modellierung die Überlegenheit der Modellierung mit allgemeineren Levy-Prozesse über die klassische Modellierung mit Brownschen Bewegungen bestätigt.
Levy-Prozess, Levy-Maß, Esscher-Transformation, äquivalentes Matrtingalmaß, verallgemeinert hyperbolische Verteilung, Levy process, Levy measure, Esscher transform, equivalent Martingale measure, generalized hyperbolic distribution
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