Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces

In dieser Dissertation wird ein neuer Zugang zur Variationskonvergenz von quasi-linearen monotonen partiellen Differenzialoperatoren erarbeitet. Zu diesem Zwecke wird die so genannte Kuwae-Shioya-Konvergenz von metrischen Räumen genauer im Banach-Raum-Fall untersucht. Erstmals werden schwache Banach-Raum-Topologien mit eingebunden. Wir erfüllen das Ziel, sinnvolle (topologische) Aussagen über Konvergenz von Vektoren, Funktionalen und Operatoren treffen zu können, so dass jedes Element einer konvergenten Folge in oder auf einem ausgezeichneten, von den anderen verschiedenen Banach-Raum definiert ist. Banach-Raum-Konvergenz wird als natürliche Verallgemeinerung der Gromov-Hausdorff-Konvergenz von kompakten metrischen Räumen angesehen. Die zugehörige Theorie wird von uns vollständig entwickelt und mit etlichen Beispielen gerechtfertigt. Wir sind unter anderem in der Lage, variierende L^p_n(Omega_n,mathcal{F}_n,mu_n)-Räume zu betrachten, so dass sowohl der messbare Raum (Omega_n,mathcal{F}_n), als auch das Maß mu_n sowie der Integrierbarkeitsgrad p_n für natürliche Zahlen $n$ variieren, und so dass der Grenzübergang $ntoinfty$ sinnvoll ist. Im Rahmen der variierenden Räume zeigen wir, dass einige klassische Resultate über Variationskonvergenz weiterhin gelten. Genaue Anwendung für konkrete Operatoren findet die Äquivalenz der so genannten Mosco-Konvergenz von konvexen Funktionalen und der Konvergenz der zugehörigen Subdifferenzialoperatoren im starken Graphen Sinne. Im Fall von abstrakten L^p-Räumen beweisen wir ein aufwändiges Resultat, in dem Isometrien konstruiert werden, welche die asymptotische Topologie der variierenden Banach-Räume respektieren und es erlauben, eine Folge von Banach-Räumen auf einen festen Banach-Raum zurückzutransformieren. Wir betrachten vier verschiedene Typen von quasi-linearen partiellen Differentialoperatoren, welche einen Banach-Raum $X$ in dessen Dualraum X^ast abbilden. Sämtliche dieser Operatoren werden vollständig durch variationelle Methoden mittels unterhalbstetiger konvexer Funktionale auf einem in $X$ echt eingebetteten Banach-Raum $V$ beschrieben. Als zu approximierende Operatoren präsentieren wir den gewichteten (nicht-homogenen) $Phi$-Laplace Operator in mathbbm{R}^d, den gewichteten $p$-Laplace Operator in mathbbm{R}^d, den $1$-Laplace Operator mit verschwindender Spur in einer beschränkten Domäne und den verallgemeinerten poröse Medien- bzw. schnelle Diffusions-Operator in einem abstrakten Maßraum. Bei der Mosco-Approximation derer Energien werden generell die Gewichte (Maße) und im zweiten und dritten Fall $p$ variiert. Bei Approximationen dieser Art treten variierende Räume natürlicherweise auf. In der Theorie der Homogenisation findet dies bereits seit einiger Zeit in dem Spezialfall der Zwei-Skalen-Konvergenz Anwendung. Weiterhin entwickeln wir einen alternativen Zugang zu gewichteten $p$-Sobolev-Räumen der ersten Ordnung, der uns eine Klasse von Gewichten einsetzen lässt, die sich von der Muckenhoupt-Klasse unterscheidet. Wir zeigen ein neues Resultat über Dichtheit glatter Funktionen in gewichteten $p$-Sobolev-Räumen, welches für $p=2$ als "Markoff-Eindeutigkeit" bekannt und wohlstudiert ist. Dieses Problem ist auch als "$H=W$" bekannt; das Zusammenfallen des starken und schwachen Sobolev-Raumes. Mit Hilfe dieses Resultats sind wir in der Lage, den Mosco-Grenzwert von gewichteten $p$-Laplace Operatoren zu identifizieren.

Level thesis:degree_level

thesis.doctoral

Grantor dc:publisher

Universität Bielefeld

Year

2010

Author dc:creator

• Tölle, Jonas M.

Repository record source_url

https://pub.uni-bielefeld.de/record/2302620

OAI identifier oai:identifier

oai:pub.uni-bielefeld.de:2302620