{"id":{"repo_id":"bayreuth","oai_identifier":"oai:epub.uni-bayreuth.de:782"},"canonical_url":"https://search.dev.ndltd.org/etd/bayreuth/oai:epub.uni-bayreuth.de:782","repository":{"repo_id":"bayreuth","name":"Universität Bayreuth","base_url":"https://epub.uni-bayreuth.de/cgi/oai2"},"display":{"title":"Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\\Delta\\underline{u}+\\lambda\\nabla div\\underline{u}=div\\underline{\\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet","abstract":"In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\\Delta\\underline{u}+\\lambda \\nabla div\\underline{u}=div \\underline{\\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\\partial\\Omega$ in $x$ und $\\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}= \\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ und $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0,$$ II) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n\\left[ \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \\partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\\right]\\right|_{\\partial\\Omega}=\\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ und $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0$$ im Rahmen der schwachen $L^q$-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. Weiter wird die Existenz eines $\\underline{u}\\in \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ mit (Randbedingung I) $$<\\nabla\\underline{u},\\nabla\\underline{\\Phi}>_\\Omega+\\lambda_1_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ für alle }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Y}^{1,q'}(\\Omega)$$ beziehungsweise ein $\\underline{u}$ in einem passend gewähltem Teilraum $\\underline{Z}^q(\\Omega)\\subset \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ mit (Randbedingung II) $$\\frac{1}{2}<\\epsilon(\\underline{u}),\\epsilon(\\underline{\\Phi})>_\\Omega+\\left(\\lambda_2-1\\right)_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ für alle }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Z}^{q'}(\\Omega).$$ gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.","abstract_html":"In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\\Delta\\underline{u}+\\lambda \\nabla div\\underline{u}=div \\underline{\\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\\partial\\Omega$ in $x$ und $\\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $\\left.\\sumi,k=1n \\partiali uk Tk(j) Ni\\right|\\partial\\Omega= \\left.\\sumi,k=1n fikTk(j) Ni\\right|\\partial\\Omega$ und $\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|\\partial\\Omega=0,$ II) $\\left.\\sumi,k=1n\\left[ \\partiali uk Tk(j) Ni+ \\partialk ui Tk(j) Ni\\right]\\right|\\partial\\Omega=\\left.\\sumi,k=1n fikTk(j) Ni\\right|\\partial\\Omega$ und $\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|\\partial\\Omega=0$ im Rahmen der schwachen $L^q$-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. 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Weiter wird die Existenz eines $\\underline{u}\\in \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ mit (Randbedingung I) $$<\\nabla\\underline{u},\\nabla\\underline{\\Phi}>_\\Omega+\\lambda_1_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ für alle }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Y}^{1,q'}(\\Omega)$$ beziehungsweise ein $\\underline{u}$ in einem passend gewähltem Teilraum $\\underline{Z}^q(\\Omega)\\subset \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ mit (Randbedingung II) $$\\frac{1}{2}<\\epsilon(\\underline{u}),\\epsilon(\\underline{\\Phi})>_\\Omega+\\left(\\lambda_2-1\\right)_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ für alle }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Z}^{q'}(\\Omega).$$ gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.","In this paper we consider the Lamé equation $$\\Delta\\underline{u}+\\lambda \\nabla div\\underline{u}=div \\underline{\\underline{f}}$$ with the boundary conditions (Where $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\\;j=1,...,n-1$ is a basis of the tangential space of $\\partial\\Omega$ in $x$ and $\\underline{N}$ is an outward unit normal.) I) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}= \\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ and $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0,$$ II) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n\\left[ \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \\partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\\right]\\right|_{\\partial\\Omega}=\\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ and $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0$$ in bounded or exterior domains in the context of the weak $L^q$-theory. This thesis proofs the existence of an $\\underline{u}\\in \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ with (boundary condition I) $$<\\nabla\\underline{u},\\nabla\\underline{\\Phi}>_\\Omega+\\lambda_1_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ for all }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Y}^{1,q'}(\\Omega)$$ or rather an $\\underline{u}$ belonging to a suitable subspace $\\underline{Z}^q(\\Omega)\\subset \\underline{Y}^{1,q}(\\Omega)$ such that (boundary condition II) $$\\frac{1}{2}<\\epsilon(\\underline{u}),\\epsilon(\\underline{\\Phi})>_\\Omega+\\left(\\lambda_2-1\\right)_\\Omega=\\sum_{i,k=1}^n\\underset{\\Omega}{\\int}f_{ik}\\partial_i \\Phi_k dx\\text{ for all }\\underline{\\Phi}\\in\\underline{Z}^{q'}(\\Omega).$$ Finally if the weak solution is supposed to be regular up to the boundary it is verified that it satisfies the boundary conditions I and II."]},{"key":"dc:format.medium","label":"Dc Format Medium","values":["application/pdf"]},{"key":"dc:title","label":"Title","values":["Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\\Delta\\underline{u}+\\lambda\\nabla div\\underline{u}=div\\underline{\\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet"]}]}],"canonical_facts":{"dc:contributor":["Simader, Christian G."],"dc:creator":["Gerlach, Alexander"],"dc:description.abstract":["In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\\Delta\\underline{u}+\\lambda \\nabla div\\underline{u}=div \\underline{\\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\\partial\\Omega$ in $x$ und $\\underline{N}$ die äußere Normale ist.) 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Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.","In this paper we consider the Lamé equation $$\\Delta\\underline{u}+\\lambda \\nabla div\\underline{u}=div \\underline{\\underline{f}}$$ with the boundary conditions (Where $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\\;j=1,...,n-1$ is a basis of the tangential space of $\\partial\\Omega$ in $x$ and $\\underline{N}$ is an outward unit normal.) I) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}= \\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ and $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0,$$ II) $$\\left.\\sum_{i,k=1}^n\\left[ \\partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \\partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\\right]\\right|_{\\partial\\Omega}=\\left.\\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\\right|_{\\partial\\Omega}$$ and $$\\left.<\\underline{u},\\underline{N}>\\right|_{\\partial\\Omega}=0$$ in bounded or exterior domains in the context of the weak $L^q$-theory. 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