Algebraische Approximation von Kählermannigfaltigkeiten

Eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit heißt algebraisch approximierbar, wenn sie beliebig kleine projektive Deformationen besitzt. Eine natürliche Fragestellung ist, ob jede kompakte Kählermannigfaltigkeit algebraisch approximierbar ist. Während dies in Dimension 2 nach den Arbeiten von Kodaira richtig ist, hat Voisin vierdimensionale Gegenbeispiele gefunden. In Dimension 3 ist die Frage noch offen. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den dreidimensionalen Fall etwas näher zu beleuchten. Dazu wird algebraische Approximierbarkeit zunächst von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. Es werden Funktorialitätsfragen untersucht, also der Zusammenhang zwischen algebraischer Approximierbarkeit der Quelle und des Ziels gewisser holomorpher Abbildungen, und Ergebnisse für verschiedene Klassen von Abbildungen erzielt, wie etwa Aufblasungen, endliche Abbildungen, Faserungen und Morikontraktionen. Als Fallstudie einer konkreten Klasse von Kählerdreifaltigkeiten werden anschließend Konikbündel über Kählerflächen untersucht, die in natürlicher Weise in der Moritheorie auftreten. Nach dem Beweis einiger grundlegender Tatsachen über Konikbündel werden ihre Diskriminantenorte genauer untersucht und damit Chernklassenabschätzungen für Konikbündel mit relativer Picardzahl 1 über nichtalgebraischen kompakten Kählerflächen hergeleitet. Unter Verwendung dieser Abschätzungen wird die Existenz infinitesimaler Deformationen solcher Konikbündel gezeigt, was einen wichtigen ersten Schritt zum Beweis der algebraischen Approximierbarkeit darstellt. Ein spezieller Typ von Konikbündeln sind die projektivierten Rang-2-Bündel. Die Periodenabbildung verhilft zu einem guten Verständnis der Deformationstheorie solcher Bündel über K3-Flächen und zweidimensionalen Tori. Konkret werden Fortsetzungssätze für Geradenbündel und Rang-2-Bündel bewiesen, die implizieren, dass jedes projektivierte Rang-2-Bündel über einer K3-Fläche oder einem zweidimensionalen Torus algebraisch approximierbar ist. Durch Untersuchung von Aufblasungen solcher Flächen wird dieses Resultat auf projektivierte Rang-2-Bündel über beliebigen kompakten Kählerflächen mit Kodairadimension 0 ausgedehnt. Schließlich wird die zuvor entwickelte Deformationstheorie für Vektorbündel verwendet, um weitere Approximierbarkeitsergebnisse für Konikbündel über elliptischen Flächen und K3-Flächen zu bekommen.

Level thesis:degree_level

thesis.doctoral

Grantor dc:publisher

Universität Bayreuth

Year

2010

Author dc:creator

• Schrack, Florian

Contributors dc:contributor

• Peternell, Thomas

Repository record source_url

https://epub.uni-bayreuth.de/id/eprint/402/

OAI identifier oai:identifier

oai:epub.uni-bayreuth.de:402