On a Prototype of an Optimal Control Problem Governed by Ordinary and Partial Differential Equations
Diese Arbeit befasst sich mit Optimalsteuerungsproblemen, welche sowohl gewöhnliche als auch partielle Differentialgleichungen als Nebenbedingungen aufweisen. Da es sich hierbei um ein noch vergleichsweise unerforschtes mathematisches Gebiet handelt, beschränkt sich die Arbeit auf das Erstellen und Analysieren eines Beispielprototyps, welcher im Folgenden ''Hypersonisches Rocketcar-Problem`` genannt wird. Zusätzlich beinhaltet dieses Prototypproblem noch Steuerungs- sowie Zustandsbeschränkungen, wobei der mathematische Fokus auf Letzteren liegen wird. Gemeinsam mit den beiden oben erwähnten Arten von Differentialgleichungsnebenbedingungen werden diese zu einigen neuen Effekten führen, welche nach Kenntnis der Autors bis jetzt weder in der Optimalsteuerung mit gewöhnlichen noch mit partiellen Differentialgleichungen aufgetreten sind. Kapitel 1 beinhaltet eine ausführliche Beschreibung des besagten Beispielprototyps sowie seine Entstehung durch Erweiterung eines bekannten Modellproblems aus den frühen Tagen der Optimalsteuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Im 2. Kapitel wird zunächst die Lösung des nicht zustandsbeschränkten Rocketcars hergeleitet, welche eine Vergleichsbasis mit den Endergebnissen bilden wird. Einige dieser Ergebnisse werden wir in Kapitel 3 schon versuchen vorwegzunehmen, indem wird die Schaltstruktur des kompletten Problems analysieren. An dieser Stelle werden wir auf die bereits erwähnten neuen Effekte der Optimalsteuerung mit gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen treffen. Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden in Kapitel 4 kurz hergeleitet. Dabei werden wir sehen, dass das Rocketcar nicht nur als Optimalsteuerungsproblem mit gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen interpretiert werden kann, sondern auch in eines mit nur gewöhnlichen oder nur partiellen umformuliert werden kann. Diese beiden Alternativversionen werden allerdings keine "Standardvertreter'' ihrer jeweiligen Art sein. Nichtsdestotrotz wird sich daraus natürlich eine hervorragende Gelegenheit zum Vergleich dieser 3 Gebiete der Optimal- steuerung ergeben. Das Hauptkapitel Nummer 5 beinhaltet schliesslich alle numerischen Aspekte: das Lösen des Rocketcar-Problems durch eine direkte (erst diskretisieren, dann optimieren) Methode sowie der Vergleich mit den vorher hergeleiteten Resultaten von Kapitel 3, die numerische Verifikation der Optimalitätsbedingungen aus Kapitel 4, sowie das erneute (und wesentlich anspruchsvollere) Lösen mit einer indirekten (erst optimieren, dann diskretisieren) Methode. Zusätzlich wird noch auf die Verbindungen zwischen den Optimalitätsbedingungen der 3 verschiedenen Versionen eingegangen.
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