O rozwiązaniach kwadratowych równań całkowych
Praca poświęcona jest badaniu kwadratowych równań całkowych tzn. będących punktowym iloczynem operatorów, z których co najmniej jeden jest operatorem całkowym. W nawiązaniu do ich zastosowań sprawdzane jest istnienie i zbiory nieciągłych rozwiązań takich równań oraz ich własności (jak monotoniczność). W przeciwieństwie do wcześniejszych wyników badane są różne klasy rozwiązań: z przestrzeni Lebesgue'a lub przestrzeni Orlicza (co pozwala rozpatrywać funkcje silnie nieliniowe). Rozpatrywane są wszelkie możliwe przypadki przestrzeni, w których mogą działać operatory opisujące badane równania. Przyjęte metody dowodów są istotnie różne od rozpatrywanych przypadków ciągłych rozwiązań. Jednocześnie metody te pozwalają na jednolite ujęcie równań kwadratowych oraz klasycznych równań całkowych. Badania dotyczą zarówno przypadku przedziału skończonego jak i półprostej, a także możliwych zależności funkcyjnych w równaniu. Całość uzupełnia twierdzenie o punkcie stałym dla punktowego produktu operatorów stanowiące bazę do serii zastosowań w zagadnieniach odnoszących się metodami do kwadratowych równań całkowych i oparty o nie schemat dowodowy. This Thesis is devoted to the study quadratic integral equations i.e. of the form of the product of operators. At least one of them should be an integral operator. In relation to their application it is investigated the existence and solutions sets of their discontinuous solutions. Some properties such as monotonicity are also investigated. In contrast to earlier results different classes of solutions are considered: belonging to the Lebesgue and Orlicz spaces (which can be then considered for strongly nonlinear functions). All the possible spaces in which operators acts are checked. The methods of proof are significantly different than in the previously considered case for continuous solutions. At the same time, these methods allow to take a unified approach for solving quadratic and classical integral equations. The equations are investigated on compact intervals or on a half-line and possible functional dependencies are also considered. A fixed point theorem for the product of two operators which is a basis for new applications related to quadratic integral equations of different kind as well as an abstract scheme of the proof in function spaces completes the Thesis.
Równania całkowe, Integral equations, Operatory, Operators, Przestrzenie funkcyjne, Function spaces, Przestrzenie Orlicza, Orlicz spaces
Networked Digital Library of Theses and Dissertations