Zasada lokalno-globalna dla rozmaitości semiabelowych
Jednym z głównych wyników pracy jest twierdzenie rozwiązujące problem badania liniowej zależności, z dokładnością do podgrupy elementów torsyjnych, dla pewnej klasy rozmaitości semiabelowych G, które są produktem torusa i rozmaitości abelowej nad ciałem liczbowym F i dowolnej skończenie generowanej podgrupy X grupy Mordella-Weila G(F). Zaprezentowane są też kontrprzykłady w przypadku, gdy założenie tegoż twierdzenia nie jest spełnione. Kolejnym wynikiem jest twierdzenie dla G, jak wyżej, mówiące, że wystarczy rozpatrywać tylko skończoną liczbę przekształceń redukcji, by stwierdzić, czy punkt należy do X (modulo podgrupa torsyjna). Wyniki rozprawy dotyczą również badania współmierności podgrup w grupach Mordella-Weila przez przekształcenia redukcji. Są to wspólne wyniki z G. Banaszakiem. Dotyczą one relacji między lokalno-globalnymi własnościami współmierności oraz liniowej zależności. Pokazano m.in. równoważność Lokalno-globalnej własności silnej współmierności i Własności liniowej zależności. Jako wniosek otrzymano, że dla rozmaitości semiabelowej G (jak wyżej), zachodzi Lokalno-globalna własność silnej współmierności. Udowodniono też kryterium sprawdzania współmierności skończenie generowanych podgrup, używające tylko skończonej liczby przekształceń redukcji. Przedstawiono kontrprzykłady dla współmierności. Prowadzą one do interesujących klas 1-motywów w sensie P. Deligne'a. One of the main results in this thesis is theorem which solves the detecting linear dependence problem, with torsion ambiguity, for some family of semiabelian varieties G, which are products of tori and abelian varieties over number field F and for any finitely generated subgroup X of Mordell-Weil group G(F). The counterexamples for this theorem are presented when the basic assumption does not hold. Another result is the theorem for G (as above), which states that it is sufficient to consider only finite number of reductions to check whether a point belongs to X (modulo torsion subgroup). Results of the thesis concern also the investigation of commensurability of subgroups in Mordell-Weil groups via reduction maps. It is joint work with G. Banaszak. These results concern relations between local to global commensurability and detecting properties. It is shown i.a. that Local to global strong commensurability property is equivalent to Detecting property. As a corollary one obtains, that for semiabelian variety G (as above) the Local to global strong commensurability property holds. In addition, the criterion for checking commensurability of finitely generated subgroups by using finite number of reductions is obtained. The counterexamples for commensurability are also presented. These counterexamples lead to interesting classes of 1-motives in the sense of P. Deligne.
rozmaitość semiabelowa, semiabelian variety, grupa Mordella-Weila, Mordell-Weil group, współmierność podgrup, commensurability of subgroups, liniowa zależność, linear dependence, przekształcenia redukcji, reduction maps
Networked Digital Library of Theses and Dissertations