{"id":{"repo_id":"alicante","oai_identifier":"oai:rua.ua.es:10045/160172"},"canonical_url":"https://search.dev.ndltd.org/etd/alicante/oai:rua.ua.es:10045/160172","repository":{"repo_id":"alicante","name":"University of Alicante","base_url":"https://rua.ua.es/server/oai/request"},"display":{"title":"Construcciones de Ondículas con Soporte Compacto para Matrices Dilatación con determinante ±2","abstract":"Desde su descubrimiento a finales del siglo XX, las ondículas han sido y continúan siendo muy atractivas tanto desde el punto de vista teórico como práctico. De hecho, debido a los recientes avances tecnológicos, las ondículas desempeñan un papel verdaderamente importante en las aplicaciones propias del ámbito de la ingeniería y de la computación, tales como, análisis de señales, procesamiento de imágenes o compresión de datos, análisis de tiempo-frecuencia, así como también en la aproximación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales o integrales. Motivados por tales aplicaciones, el objetivo de esta tesis es, dentro del contexto multidimensional, la construcción de ondículas con soporte compacto y buenas propiedades de aproximación, tales como momentos nulos, regularidad o suavidad y simetría ya que, en particular dichas propiedades son de gran interés para ciertas características deseables en las aplicaciones, por ejemplo, el soporte compacto permite reducir la complejidad computacional, un alto número de momentos nulos está relacionado con la capacidad de las ondículas para obtener la mínima y necesaria información de una señal utilizada en la compresión de grandes cantidades de datos, la simetría reduce los indeseados efectos visuales o de acotación en la representación de imágenes o datos. Tal y como viene reflejado en la introducción de cada capítulo, gran parte de la literatura está destinada a la obtención de ondículas en una dimensión y asociadas principalmente a la dilatación diádica o algunos factores dilatación mayor que 2. Debido a que el paso del caso unidimensional al caso multidimensional no es trivial, hasta día de hoy, en varias variables, sólo se conocen algunos casos determinados para ciertas matrices dilatación en particular. Por tanto, teniendo esto en mente, en la presente tesis damos algunas construcciones, en varias variables, de ondículas no separables (sin usar tensores) con soporte compacto y propiedades como las ya citadas, asociadas a matrices dilatación con determinante 2 y -2. De hecho, hacemos énfasis en algunas matrices dilatación particulares en dimensión 2 y en dimensión 3 con la matriz Quincunx, que es de gran interés en el campo de la física. De este modo, hemos estructurado esta tesis en un capítulo inicial que contiene resultados necesarios propios de la Teoría de Ondículas como son el Análisis de Multirresolución o los Principios de Extensión, siguiendo con 4 capítulos principales donde aparecen nuestras aportaciones y, terminando así con un total de 5 apéndices de herramientas necesarias, tales como aplicaciones lineales expansivas, determinados grupos cociente, los espacios de Lebesgue, la transformada de Fourier o resultados en relación con bases ortonormales, bases de Riesz y marcos. Así, el Capítulo 1 incluye un método general que permite construir ondículas ortonormales en el espacio de Hilbert L2(Rd) , d>1, de soporte compacto con tantos momentos nulos como se deseen y que además son simétricas o antisimétricas respecto de un determinado punto. Para ver que el sistema de trasladados por enteros de una función refinable es un sistema ortonormal, suponiendo la existencia de una teselación auto-afín, nos apoyamos en la Condición de Cohen dada en el año 1990, utilizando el filtro de paso bajo asociado a la función escala dada por la función característica sobre dicha teselación auto-afín ya existente y encontrando un conjunto de Cohen adecuado para un par de matrices particulares en dimensión 2 (d=2), para la matriz Quincunx en dimensión 3 (d=3) y también para matrices íntegramente similares a éstas. Por otro lado, también estudiamos la ortonormalidad para algunas de las matrices para d=2, obtenidos mediante la adaptación de los filtros de paso bajo dados por Han en 2010, consiguiendo una estimación numérica del exponente de suavidad y comprobando que éste es positivo. Finalmente, incluimos una última sección en la que construimos ondículas de soporte compacto con suavidad y un alto número de momentos nulos pero asociadas a un par de matrices dilatación con d=2, así como también asociadas a la matriz Quincunx con d=3. Para ello, adaptamos los filtros unidimensionales de paso bajo, también con dilatación diádica, dados por Daubechies en el año 1988 haciendo uso del conocido Lema de Riesz. Para el estudio de la regularidad, utilizamos como herramienta principal el decaimiento en el infinito de la ondícula obtenida junto a los Teoremas de Embebimiento de los espacios de Sobolev. En el Capítulo 2, presentamos una determinada familia de polinomios trigonométricos en varias variables que hacen el papel de filtros de paso bajo asociados a una función refinable que permite la construcción de ondículas que forman una base de Riesz en L2(Rd) con d>1 (que las llamaremos Ondículas de Riesz) con soporte compacto asociadas a una matriz dilatación general A con determinante 2 y -2. Además, estudiamos la simetría, el grado de regularidad y los momentos nulos de sus generadores. Finalmente, incluimos algunos ejemplos explícitos de las ondículas obtenidas a partir de los filtros de paso bajo de Daubechies de 1988 adaptados al caso multidimensional y además incluimos unas tablas a modo resumen junto a algunos comentarios acerca de la estimación numérica del exponente de suavidad y la regularidad obtenida. Basándonos en las construcciones dadas en los dos primeros capítulos, en el Capítulo 3, nos damos cuenta de que a partir de los filtros de paso bajo dados por Daubechies en 1988, podemos obtener una familia específica constituida por un par de ondículas que forman una base de Riesz para L2(Rd) con d=3 y que además los correspondientes sistemas afines asociados con la matriz Quincunx son biortogonales entre sí. De este modo, refiriéndonos a dicho par de ondículas como Ondículas duales asociadas a dicha matriz Quincunx, vemos que efectivamente son de soporte compacto y estudiamos su simetría, momentos nulos y regularidad. También obtenemos un resultado basado en dicho método que, nos permite construir ondículas duales con soporte compacto, simetría y regularidad, asociadas a matrices íntegramente similares a tal matriz Quincunx. Finalmente, incluimos una construcción análoga para dimensión d=2 para un par de matrices dilatación y algunas matrices dilatación íntegramente similares a éstas y que fueron dadas por Cohen y Daubechies en 1993. El Capítulo 4 está destinado a la obtención de Marcos de Ondículas duales de soporte compacto con uno, dos, tres o más generadores en L2(Rd). Basándonos en el Principio de Extensión Oblicuo Mixto, generalizamos algunos resultados ya existentes en la literatura para el caso unidimensional usando los métodos dados por Christensen en 2003, Dong y Shen en 2007 o Han y Mo en 2002. Finalmente, damos algunos ejemplos explícitos de marcos de ondículas duales con uno, dos y tres generadores para d=2 y d=3, trabajando con las matrices dilatación de los capítulos anteriores junto a los polinomios trigonométricos de Daubechies de una variable ya mencionados. Para terminar, se incluye el código fuente de la implementación para dimensión 2 que hemos obtenido a partir de un resultado dado por Han en el año 2017 y, además enumeramos algunas posibles futuras líneas de investigación en relación con los resultados obtenidos.","abstract_html":"Desde su descubrimiento a finales del siglo XX, las ondículas han sido y continúan siendo muy atractivas tanto desde el punto de vista teórico como práctico. De hecho, debido a los recientes avances tecnológicos, las ondículas desempeñan un papel verdaderamente importante en las aplicaciones propias del ámbito de la ingeniería y de la computación, tales como, análisis de señales, procesamiento de imágenes o compresión de datos, análisis de tiempo-frecuencia, así como también en la aproximación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales o integrales. Motivados por tales aplicaciones, el objetivo de esta tesis es, dentro del contexto multidimensional, la construcción de ondículas con soporte compacto y buenas propiedades de aproximación, tales como momentos nulos, regularidad o suavidad y simetría ya que, en particular dichas propiedades son de gran interés para ciertas características deseables en las aplicaciones, por ejemplo, el soporte compacto permite reducir la complejidad computacional, un alto número de momentos nulos está relacionado con la capacidad de las ondículas para obtener la mínima y necesaria información de una señal utilizada en la compresión de grandes cantidades de datos, la simetría reduce los indeseados efectos visuales o de acotación en la representación de imágenes o datos. Tal y como viene reflejado en la introducción de cada capítulo, gran parte de la literatura está destinada a la obtención de ondículas en una dimensión y asociadas principalmente a la dilatación diádica o algunos factores dilatación mayor que 2. Debido a que el paso del caso unidimensional al caso multidimensional no es trivial, hasta día de hoy, en varias variables, sólo se conocen algunos casos determinados para ciertas matrices dilatación en particular. Por tanto, teniendo esto en mente, en la presente tesis damos algunas construcciones, en varias variables, de ondículas no separables (sin usar tensores) con soporte compacto y propiedades como las ya citadas, asociadas a matrices dilatación con determinante 2 y -2. De hecho, hacemos énfasis en algunas matrices dilatación particulares en dimensión 2 y en dimensión 3 con la matriz Quincunx, que es de gran interés en el campo de la física. De este modo, hemos estructurado esta tesis en un capítulo inicial que contiene resultados necesarios propios de la Teoría de Ondículas como son el Análisis de Multirresolución o los Principios de Extensión, siguiendo con 4 capítulos principales donde aparecen nuestras aportaciones y, terminando así con un total de 5 apéndices de herramientas necesarias, tales como aplicaciones lineales expansivas, determinados grupos cociente, los espacios de Lebesgue, la transformada de Fourier o resultados en relación con bases ortonormales, bases de Riesz y marcos. Así, el Capítulo 1 incluye un método general que permite construir ondículas ortonormales en el espacio de Hilbert L2(Rd) , d>1, de soporte compacto con tantos momentos nulos como se deseen y que además son simétricas o antisimétricas respecto de un determinado punto. Para ver que el sistema de trasladados por enteros de una función refinable es un sistema ortonormal, suponiendo la existencia de una teselación auto-afín, nos apoyamos en la Condición de Cohen dada en el año 1990, utilizando el filtro de paso bajo asociado a la función escala dada por la función característica sobre dicha teselación auto-afín ya existente y encontrando un conjunto de Cohen adecuado para un par de matrices particulares en dimensión 2 (d=2), para la matriz Quincunx en dimensión 3 (d=3) y también para matrices íntegramente similares a éstas. Por otro lado, también estudiamos la ortonormalidad para algunas de las matrices para d=2, obtenidos mediante la adaptación de los filtros de paso bajo dados por Han en 2010, consiguiendo una estimación numérica del exponente de suavidad y comprobando que éste es positivo. 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Basándonos en las construcciones dadas en los dos primeros capítulos, en el Capítulo 3, nos damos cuenta de que a partir de los filtros de paso bajo dados por Daubechies en 1988, podemos obtener una familia específica constituida por un par de ondículas que forman una base de Riesz para L2(Rd) con d=3 y que además los correspondientes sistemas afines asociados con la matriz Quincunx son biortogonales entre sí. De este modo, refiriéndonos a dicho par de ondículas como Ondículas duales asociadas a dicha matriz Quincunx, vemos que efectivamente son de soporte compacto y estudiamos su simetría, momentos nulos y regularidad. También obtenemos un resultado basado en dicho método que, nos permite construir ondículas duales con soporte compacto, simetría y regularidad, asociadas a matrices íntegramente similares a tal matriz Quincunx. 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Tal y como viene reflejado en la introducción de cada capítulo, gran parte de la literatura está destinada a la obtención de ondículas en una dimensión y asociadas principalmente a la dilatación diádica o algunos factores dilatación mayor que 2. Debido a que el paso del caso unidimensional al caso multidimensional no es trivial, hasta día de hoy, en varias variables, sólo se conocen algunos casos determinados para ciertas matrices dilatación en particular. Por tanto, teniendo esto en mente, en la presente tesis damos algunas construcciones, en varias variables, de ondículas no separables (sin usar tensores) con soporte compacto y propiedades como las ya citadas, asociadas a matrices dilatación con determinante 2 y -2. De hecho, hacemos énfasis en algunas matrices dilatación particulares en dimensión 2 y en dimensión 3 con la matriz Quincunx, que es de gran interés en el campo de la física. 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Para ver que el sistema de trasladados por enteros de una función refinable es un sistema ortonormal, suponiendo la existencia de una teselación auto-afín, nos apoyamos en la Condición de Cohen dada en el año 1990, utilizando el filtro de paso bajo asociado a la función escala dada por la función característica sobre dicha teselación auto-afín ya existente y encontrando un conjunto de Cohen adecuado para un par de matrices particulares en dimensión 2 (d=2), para la matriz Quincunx en dimensión 3 (d=3) y también para matrices íntegramente similares a éstas. Por otro lado, también estudiamos la ortonormalidad para algunas de las matrices para d=2, obtenidos mediante la adaptación de los filtros de paso bajo dados por Han en 2010, consiguiendo una estimación numérica del exponente de suavidad y comprobando que éste es positivo. Finalmente, incluimos una última sección en la que construimos ondículas de soporte compacto con suavidad y un alto número de momentos nulos pero asociadas a un par de matrices dilatación con d=2, así como también asociadas a la matriz Quincunx con d=3. Para ello, adaptamos los filtros unidimensionales de paso bajo, también con dilatación diádica, dados por Daubechies en el año 1988 haciendo uso del conocido Lema de Riesz. Para el estudio de la regularidad, utilizamos como herramienta principal el decaimiento en el infinito de la ondícula obtenida junto a los Teoremas de Embebimiento de los espacios de Sobolev. En el Capítulo 2, presentamos una determinada familia de polinomios trigonométricos en varias variables que hacen el papel de filtros de paso bajo asociados a una función refinable que permite la construcción de ondículas que forman una base de Riesz en L2(Rd) con d>1 (que las llamaremos Ondículas de Riesz) con soporte compacto asociadas a una matriz dilatación general A con determinante 2 y -2. Además, estudiamos la simetría, el grado de regularidad y los momentos nulos de sus generadores. Finalmente, incluimos algunos ejemplos explícitos de las ondículas obtenidas a partir de los filtros de paso bajo de Daubechies de 1988 adaptados al caso multidimensional y además incluimos unas tablas a modo resumen junto a algunos comentarios acerca de la estimación numérica del exponente de suavidad y la regularidad obtenida. Basándonos en las construcciones dadas en los dos primeros capítulos, en el Capítulo 3, nos damos cuenta de que a partir de los filtros de paso bajo dados por Daubechies en 1988, podemos obtener una familia específica constituida por un par de ondículas que forman una base de Riesz para L2(Rd) con d=3 y que además los correspondientes sistemas afines asociados con la matriz Quincunx son biortogonales entre sí. De este modo, refiriéndonos a dicho par de ondículas como Ondículas duales asociadas a dicha matriz Quincunx, vemos que efectivamente son de soporte compacto y estudiamos su simetría, momentos nulos y regularidad. También obtenemos un resultado basado en dicho método que, nos permite construir ondículas duales con soporte compacto, simetría y regularidad, asociadas a matrices íntegramente similares a tal matriz Quincunx. Finalmente, incluimos una construcción análoga para dimensión d=2 para un par de matrices dilatación y algunas matrices dilatación íntegramente similares a éstas y que fueron dadas por Cohen y Daubechies en 1993. El Capítulo 4 está destinado a la obtención de Marcos de Ondículas duales de soporte compacto con uno, dos, tres o más generadores en L2(Rd). Basándonos en el Principio de Extensión Oblicuo Mixto, generalizamos algunos resultados ya existentes en la literatura para el caso unidimensional usando los métodos dados por Christensen en 2003, Dong y Shen en 2007 o Han y Mo en 2002. Finalmente, damos algunos ejemplos explícitos de marcos de ondículas duales con uno, dos y tres generadores para d=2 y d=3, trabajando con las matrices dilatación de los capítulos anteriores junto a los polinomios trigonométricos de Daubechies de una variable ya mencionados. 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Motivados por tales aplicaciones, el objetivo de esta tesis es, dentro del contexto multidimensional, la construcción de ondículas con soporte compacto y buenas propiedades de aproximación, tales como momentos nulos, regularidad o suavidad y simetría ya que, en particular dichas propiedades son de gran interés para ciertas características deseables en las aplicaciones, por ejemplo, el soporte compacto permite reducir la complejidad computacional, un alto número de momentos nulos está relacionado con la capacidad de las ondículas para obtener la mínima y necesaria información de una señal utilizada en la compresión de grandes cantidades de datos, la simetría reduce los indeseados efectos visuales o de acotación en la representación de imágenes o datos. Tal y como viene reflejado en la introducción de cada capítulo, gran parte de la literatura está destinada a la obtención de ondículas en una dimensión y asociadas principalmente a la dilatación diádica o algunos factores dilatación mayor que 2. Debido a que el paso del caso unidimensional al caso multidimensional no es trivial, hasta día de hoy, en varias variables, sólo se conocen algunos casos determinados para ciertas matrices dilatación en particular. Por tanto, teniendo esto en mente, en la presente tesis damos algunas construcciones, en varias variables, de ondículas no separables (sin usar tensores) con soporte compacto y propiedades como las ya citadas, asociadas a matrices dilatación con determinante 2 y -2. De hecho, hacemos énfasis en algunas matrices dilatación particulares en dimensión 2 y en dimensión 3 con la matriz Quincunx, que es de gran interés en el campo de la física. De este modo, hemos estructurado esta tesis en un capítulo inicial que contiene resultados necesarios propios de la Teoría de Ondículas como son el Análisis de Multirresolución o los Principios de Extensión, siguiendo con 4 capítulos principales donde aparecen nuestras aportaciones y, terminando así con un total de 5 apéndices de herramientas necesarias, tales como aplicaciones lineales expansivas, determinados grupos cociente, los espacios de Lebesgue, la transformada de Fourier o resultados en relación con bases ortonormales, bases de Riesz y marcos. Así, el Capítulo 1 incluye un método general que permite construir ondículas ortonormales en el espacio de Hilbert L2(Rd) , d>1, de soporte compacto con tantos momentos nulos como se deseen y que además son simétricas o antisimétricas respecto de un determinado punto. Para ver que el sistema de trasladados por enteros de una función refinable es un sistema ortonormal, suponiendo la existencia de una teselación auto-afín, nos apoyamos en la Condición de Cohen dada en el año 1990, utilizando el filtro de paso bajo asociado a la función escala dada por la función característica sobre dicha teselación auto-afín ya existente y encontrando un conjunto de Cohen adecuado para un par de matrices particulares en dimensión 2 (d=2), para la matriz Quincunx en dimensión 3 (d=3) y también para matrices íntegramente similares a éstas. Por otro lado, también estudiamos la ortonormalidad para algunas de las matrices para d=2, obtenidos mediante la adaptación de los filtros de paso bajo dados por Han en 2010, consiguiendo una estimación numérica del exponente de suavidad y comprobando que éste es positivo. Finalmente, incluimos una última sección en la que construimos ondículas de soporte compacto con suavidad y un alto número de momentos nulos pero asociadas a un par de matrices dilatación con d=2, así como también asociadas a la matriz Quincunx con d=3. Para ello, adaptamos los filtros unidimensionales de paso bajo, también con dilatación diádica, dados por Daubechies en el año 1988 haciendo uso del conocido Lema de Riesz. Para el estudio de la regularidad, utilizamos como herramienta principal el decaimiento en el infinito de la ondícula obtenida junto a los Teoremas de Embebimiento de los espacios de Sobolev. En el Capítulo 2, presentamos una determinada familia de polinomios trigonométricos en varias variables que hacen el papel de filtros de paso bajo asociados a una función refinable que permite la construcción de ondículas que forman una base de Riesz en L2(Rd) con d>1 (que las llamaremos Ondículas de Riesz) con soporte compacto asociadas a una matriz dilatación general A con determinante 2 y -2. Además, estudiamos la simetría, el grado de regularidad y los momentos nulos de sus generadores. Finalmente, incluimos algunos ejemplos explícitos de las ondículas obtenidas a partir de los filtros de paso bajo de Daubechies de 1988 adaptados al caso multidimensional y además incluimos unas tablas a modo resumen junto a algunos comentarios acerca de la estimación numérica del exponente de suavidad y la regularidad obtenida. Basándonos en las construcciones dadas en los dos primeros capítulos, en el Capítulo 3, nos damos cuenta de que a partir de los filtros de paso bajo dados por Daubechies en 1988, podemos obtener una familia específica constituida por un par de ondículas que forman una base de Riesz para L2(Rd) con d=3 y que además los correspondientes sistemas afines asociados con la matriz Quincunx son biortogonales entre sí. De este modo, refiriéndonos a dicho par de ondículas como Ondículas duales asociadas a dicha matriz Quincunx, vemos que efectivamente son de soporte compacto y estudiamos su simetría, momentos nulos y regularidad. También obtenemos un resultado basado en dicho método que, nos permite construir ondículas duales con soporte compacto, simetría y regularidad, asociadas a matrices íntegramente similares a tal matriz Quincunx. 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