Spectral approach for improving the Ill-conditioning of the method of fundamental solutions
O método das soluções fundamentais, em inglês, method of fundamental solutions (MFS), é um método para solução de problemas de valor de fronteira de equações diferenciais com derivadas parciais. O método pertence à classe dos métodos que não necessitam de discretização do domínio, evitando, dessa forma, os desafios que podem surgir com a discretização de domínios complexos, como ocorre nos métodos que requerem essa etapa. O MFS busca a solução do problema de valor de fronteira na forma de uma combinação linear de soluções fundamentais da equação diferencial com derivadas parciais, com as singularidades da solução fundamental localizadas fora do domínio de definição do problema. Além de dispensar a discretização do domínio, outra vantagem que o torna um método atrativo para os pesquisadores é a facilidade de implementação numérica e sua excelente convergência à solução, que, em alguns casos, é de carácter exponencial [17, 31]. No entanto, a convergência do método é frequentemente comprometida devido ao mau condicionamento do sistema linear resultante da aplicação do método. Esse mau condicionamento decorre de vários fatores, sendo um deles a localização das singularidades, que, em princípio, podem ser colocadas em qualquer ponto do plano ou espaço, dependendo do domínio de definição do problema, excepto no seu interior e na fronteira do domínio. Como o mau condicionamento pode gerar instabilidade numérica e degradar a precisao da solução, é recomendável o seu tratamento antes da resolução do sistema linear. Para o efeito existem várias abordagens para mitigar esse problema, cada uma com suas vantagens e limitações, o que faz desse tema um campo de pesquisa ainda ativo. Esta tese trata do problema do mau condicionamento do método das soluções fundamentais aplicado a dois problemas concretos de valor de fronteira. Ela começa com uma apresentação das noções teóricas básicas sobre o MFS, sua formulação numérica, bem como uma descrição das diferentes estratégias actualmente utilizadas para reduzir o mau condicionamento. Como já mencionado, apesar da existência de diversas abordagens para mitigar o mau condicionamento, novas técnicas têm sido sugeridas como resultado de pesquisas recentes. Uma delas é uma técnica que combina o método das soluções fundamentais com a decomposição em valores singulares (SVD), conhecida como MFS-SVD, introduzida em [12], com o objectivo de melhorar o mau condicionamento do problema de valor de fronteira da equação de Laplace a duas dimensões. Considerando que, na formulação do MFS, as funções de base formam uma base que gera o espaço funcional das aproximações do problema, e podendo esse mesmo espaço ser descrito por outras bases, o MFS-SVD explora exactamente esta ideia, propondo uma mudança de base para obter um novo conjunto de funções de base, mas que resulte em um sistema linear melhor condicionado. A abordagem utilizada em [12] emprega coordenadas polares e polinómios harmónicos para definir a nova base, partindo de uma representação espectral da solução fundamental, e utiliza a decomposição em valores singulares para realizar a mudança de base. As ilustrações apresentadas em [12] mostram que o método é extremamente eficaz no caso da equação de Laplace a duas dimensões, apresentando números de condição de ordem O(1). No entanto, a afirmação de que o MFS-SVD funcionaria para a generalidade dos problemas de valor de fronteira carece de verificação caso a caso. Nesse sentido, nesta tese estendemos a aplicação do MFS-SVD para dois problemas de valor de fronteira no plano: O problema da equação de Helmholtz e o problema biharmónico. Para o problema da equação de Helmholtz, ilustramos neste trabalho que o MFS-SVD também é muito eficaz no tratamento do mau condicionamento quando o domínio considerado é o disco, utilizando, nesse caso, coordenadas polares e funções de Bessel como funções de base. Para qualquer outro domínio diferente do disco, mostramos que algumas melhorias são observadas, mas, quando aumentamos o número de funções de base, volta-se a observar um crescimento do número de condição para níveis semelhantes aos do caso clássico. Ou seja, a mudança de base, nestes casos, não garante a ortogonalidade das novas funções de base como ocorre no caso do disco, sugerindo a necessidade de se utilizar um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio em estudo para representar a expansão do teorema da adição. Para ilustrar/verificar essa hipótese, sugerimos nesta tese a resolução de problemas com domínio delimitado por uma elipse ou outros próximos à elipse, utilizando a expansão da solução fundamental em coordenadas elípticas, com funções de Mathieu como funções de base. Com essa abordagem, o condicionamento do sistema linear do MFS melhora consideravelmente para os casos com domínio elíptico e para domínios que apresentem um alongamento em uma determinada direcção, como por exemplo, domínios limitados do tipo amendoím. Essa abordagem com funções de Mathieu foi desafiadora, pois não existe implementação oficial dessas funções no software Matlab. Por isso, recorremos a ferramentas de terceiros [32, 33], que se mostraram ineficientes, pois garantem apenas precisão simples. Como, para as nossas ilustrações, necessitávamos maior precisão, dada a natureza dos problemas que estamos resolvendo, foi feita uma adaptação ao código de Cojocaru utilizando ideias provenientes de [21], de forma a garantir o cálculo das funções de Mathieu com maior precisão. A alteração mostrou-se extremamente eficaz sendo, portanto, um outro aspecto relevante desta pesquisa. O código alterado poderá servir de base para a utilização das funções de Mathieu em outros contextos e problemas, algo que, actualmente provavelmente não ocorre, pois os códigos existentes apresentam baixa precisão devido aos erros subtractivos frequentemente associados à elas. A equação biharmónica é abordada nesta tese por se tratar de uma equação diferencial de ordem superior, mais especificamente, de quarta ordem, e por ser um caso que apresenta diversas aproximações numéricas bem estabelecidas na literatura para a obtenção da solução via MFS. A busca pela solução numérica utilizando o MFS-SVD para este problema serve como ilustração da metodologia geral a ser seguida na resolução de problemas de valor de fronteira (BVPs) mais abrangentes. Esta abordagem com o problema biharmónico é relevante pois para os casos de equações de segunda ordem, como as de Laplace e Helmholtz, a aplicação do MFSSVD sugeria que a decomposição em valores singulares, SVD, deveria ser aplicada ao fator que contém o mau condicionamento, após a decomposição da matriz completa do sistema linear em fatores que dependem separadamente dos pontos de avaliação e dos pontos de observação. Ora, uma abordagem nesse sentido para um problema de quarta ordem, como o biharmónico, conduz a uma decomposição contendo matrizes singulares e, portanto, mal condicionadas, o que é ilustrado na tese. Portanto, ilustramos neste trabalho o procedimento a ser seguido para problemas de ordem superior, que reduz os casos Laplace e Helmholtz como casos particulares. Assim, este trabalho contribui para a formalização de um algoritmo aplicável à diferentes problemas de valor de fronteira, com as devidas adaptações. Como mencionamos anteriormente, o facto de existirem diferentes representações numéricas para a aproximação da solução numérica do problema biharmónico é outra razão que nos levou a seleccioná-lo como um caso de implementação do MFS-SVD, pois pretendíamos ilustrar também que a performance do MFSSVD é independente da representação usada para a obtenção da solução numérica. Portanto esta tese ilustra que o MFS-SVD introduzido originalmente para o melhoramento do mau condicionamento da matriz do sistema linear do MFS da equação de Laplace, pode ser extendido aos problemas de valor de fronteira no plano, para a equação de Helmholtz e para a equação biharmónica. A relevância do que se mostra na tese reside no facto de que a abordagem tal como sugerida em [12] não se aplicar para a globalidade dos casos, sendo necessário as alterações sugeridas neste trabalho para se conseguir as melhorias no mau condicionamento do sistema linear do MFS, particularmente para problemas de ordem superior. Ilustramos também, que por vezes a melhoria do mau condicionamento poderá ser conseguida apenas utilizando um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio, e que a localização dos pontos de observação não é determinante para o mau condicionamento se a base for adequada.
Método das soluções fundamentais, Equação de Helmholtz, Equação biharmónica, MFS-SVD (method of fundamental solutions with singular value decomposition), Mau condicionamento, Funções de Mathieu, Method of fundamental solutions, Helmholtz BVP, Biharmonic BVP, MFS-SVD, Ill-conditioning, Mathieu functions
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